Bonjour,
Tu peux étudier le signe de 2xln(x)-x^2+1, en dérivant une ou deux fois.
BG

Bonjour,

Une autre approche just for fun.

Soit f(x)=xln(x)/(x²-1)
Remarquer que f(1/x)=f(x) donc si on résout l'inégalité sur ]0,1[ alors on l'aura résolue ]1,+[

ln(x)=ln(1+(x-1))x-1 (inégalité de concavité de ln). Donc f(x)x/(x+1)=1/(1+1/x)1/2 lorsque x1 (ce qui prouve l'inégalité)

Bien entendu, l'approche de BlackGhost est préférable car elle est beaucoup plus générale et systématique.

J'aime bien ce fun...

Bonjour,

sanantonio312:
Une 3ème approche :
On peut également poser x=exp(y) et voir que l'inégalité demandée revient à prouver y<sinh(y) pour y>0, ce qui est vrai par convexité de sinh sur R+*