Salut,
celle de droite est triviale, reste à regarder celle de gauche qui revient simplement à regarder si |ln(t)|>1 c'est à dire si
ln(t)<-1
le log est strictement croissante sur R+* et log(1/e)=-log(e)=-1 ce qui termine la démo.
A+

ah non c'est bon...
oui c'est une question nulle que celle que je viens de poser
merci quand même otto

En fait ma question découle du fait que l'on cherche a prouver que
diverge.
Pour cela on cherche un minorant de la fonction sur , mais le correcteur propose d'observer que sur , .
Pourquoi pense t'il à cela?
Et comment aboutir à cette inégalité sans en connaître l'intervalle de validité.
Merci

Salut

Peut-être peut-on faire comme ceci :

Pour t tel que 0 < t <= 1/e :

|ln(t)| >= 1

|ln(t)|/t^2 >= 1/t^2

Soit h tel que 0 < h < 1

Somme de h à 1 de |ln(t)|/t^2 dt <= Somme de h à 1 de 1/t^2 dt = 1/h - 1 qui tends vers + l'infini quand h tend vers 0+

jean-émile

Erratum :


lire >= au lieu de <=

Somme de h à 1 de |ln(t)|/t^2 dt >= Somme de h à 1 de 1/t^2 dt = 1/h - 1 qui tends vers + l'infini quand h tend vers 0+

Re Errarum : (faute d'orthographe)

lire :

Somme de h à 1 de |ln(t)|/t^2 dt >= Somme de h à 1 de 1/t^2 dt = 1/h - 1 qui tend vers + l'infini quand h tend vers 0+

jean-émile

Bonjour,
"Pourquoi pense t'il à cela?"
Parce qu'il faut toujours penser à faire ce genre de trucs, surtout quand tu as une fonction qui se compare si clairement à une fonction non intégrable (ici x->1/x²)

"
Et comment aboutir à cette inégalité sans en connaître l'intervalle de validité."
Je ne comprend pas ta question, mais je vais répondre à ce que je pense être ta question:
Pour tout h>0 ta fonction est intégrable sur [h,1] par argument de continuité.
Donc le seul problème se situe sur (0,h], donc c'est l'intervalle qui nous intéresse, et tu prends le h que tu veux pour ton étude, notamment ici 1/e est le plus grand nombre qui fait que ton inégalité soit vérifiée, mais tu aurais pu en prendre un autre plus petit c'est pas grave...

ok ok mais comment il choisit 1/e, ce n'est pas par hasard, il a probablement résolu

mais c'est a ce niveau que jéprouve des difficultés.

C'est le plus grand nombre x tel que |ln(x)|>=1
Il ne l'a pas choisit par hasard, il le savait déjà, mais ce nombre n'a pas d'importance, ce qu'il faut que tu comprennes c'est qu'en fait ce que l'on veut savoir, c'est juste que
|ln(t)|/t²>1/t² pour t très petit
En fait lui il le montre pour t suffisament grand, allant en fait même jusqu'à x=1/e, mais nous ce que l'on veut c'est savoir ce qui se passe pour x très très très petit, par exemple si l'égalité n'est vrai que pour x<0.0000000001 alors on est quand même contennt, mais c'est plus facile de regarder ce qui se passe au niveau global, et c'est ce qu'il fait.
J'espère qu'il n'y a pas de qui pro quo et que je répond bien à ta question.
A+

k g tout bien compris et a vrai dire qu'il prenne e-1 ou n'importe quel nombre inférieur ca ne change rien passk'on ne cherche qu'à étudier au voisinage de 0.
Enfin voià ce que j'ai compris
Et comment il fait pour le savoir que c'est précisement 1/e la valeur "limite"

Ok t'as bien pigé l'idée, notamment ici on ne cherche rien d'autre que de savoir si la limite de l'intégrale de f(t)dt existe sur [x,1] quand tu fais tendre x vers 0, donc en fait le comportement sur tout ce qui est à "droite" de x n'intervient pas dans ton problème.

pour ta question c'est simple:
ln est négatif sur (0,1] positif ensuite.
Tu as ln(e)=1 et ln(1/e)=-ln(e)=-1
par injectivité (croissance) du log tu as que
|ln(x)|=1 équivaut à x=e ou x=1/e

Puisque log est croissant et négatif sur (0,1/e] alors |log| est décroissant et positif sur le même intervalle, notamment par décroissance si tu as x dans (1/e,e) alors |log(x)|<1

J'ai fait plus que répondre à ta question, mais c'est un peu dans le désordre, tu prends ce qui t'arrange dans ma réponse.
A+

k kool mici

en fait y a encore un truc qui me pose problème, c'est de savoir comment je montre pour si je ne sais pas que ca marche pour 1/e ni que ca marche en général?

Je ne comprend pas ta question.
Ton inégalité n'est vrai que sur certains ensembles, en fait elle est vrai sur R*+\(1/e,e)
Tu le montres simplement avec des outils de lycée classique.

oui là aucun problème mais la question c'était comment on aboutit a cette inégalité.
Parce que je dois pruover uen convergence, elle ne m'est donc pas donnée l'inégalité.

En fait c'est à toi de trouver l'inégalité pour conclure.
A+

donc en pure théorie ca aurait été a moi de montrer que au voisinage de 0.
comment fait on cela (sachant que je ne dispose pas des arguments que tu as exposés tout a l'heure :/)
topi ou quelqu'un d'autre.
Merci d'avance

Salut,
de quels arguments ne disposes tu pas?

Dans une étude de convergence d'intégrale il faut toujours:
regarde où se situe le problème
voir si c'est un vrai problème (par exemple 0 pour x->sin(x)/x n'est pas un vrai problème)
Voir si on peut encadrer facilement notre fonction.
Trouver un équivalent de notre fonction au point qui pose problème si jamais notre fonction est de signe constant au voisinage de ce point (par exemple sin(x)/x n'est jamais de signe constant au voisinage de l'infini).

Ce sont les trucs à voir rapidement.

je sais pas je n'y aurais pas pensé ... :/

je pensais qu'il y avait une facon plus immédiate de le voir puisque l'auteur ne le justifie pas. mais c'est pograve

C'est pas grave puisque c'est nouveau, maintenant il faut que tu y penses. Tu es vraiment en prépa ou tu vas y rentrer? Il me semble que ca se voit en MPSI ce genre de trucs et que ca se fait en milieu d'année.

"je pensais qu'il y avait une facon plus immédiate de le voir puisque l'auteur ne le justifie pas."

C'est assez immédiat quand tu as l'habitude. Pas de honte à avoir si tu dois le démontrer ou si tu ne le vois pas immédiatement. Ton prof n'a que ca à faire, c'est son job
Te prend pas la tête.
A+

oké merci