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Inégalité d un polynôme

Posté par Serphone (invité) 06-09-05 à 19:08

Bonjour, un petit exercice de sup sur lequel je butte:

Soit P(x) = xn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, où les ai sont des réels dans [-1,1].

(a) Soit x tel que P(x) = 0. Montrer que |x|2.
(b) Réciproquement, soit M un réel tel que si P(x) = 0, alors |x|M , ce pour tout choix de n et des ai dans [-1,1]. Montrer que M 2.

J'arrive à voir ce que je dois montrer avec des "exemples" mais pas à le démontrer, j'ai tenté une demonstration par la contraposée: |x| > 2 P(x) 0, mais j'avance pas bien loin avec ça car j'arrive pas à montrer que le terme de plus haut degré xn est plus grand que le reste du polynôme si |x| > 2 (je sais pas si c'est très clair dis comme ça désolé). Avez-vous une idée de la piste sur laquelle s'engager?

Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Inégalité d un polynôme 06-09-05 à 21:05

Bonjour Serphone;
(a) il s'agit de montrer que P ne s'annule pas sur ]-\infty,-2]\cup[2,+\infty[:
il est facile de voir que,
\{{\forall x\in\mathbb{R}-\{\pm1\}\\|P(x)|\ge|x|^n-|x|^{n-1}-..-1=|x|^n-\frac{|x|^n-1}{|x|-1}=\frac{|x|^{n+1}-2|x|^n+1}{|x|-1}=\frac{|x|^n(|x|-2)+1}{|x|-1}
et donc que,
\fbox{\{{\forall x\in]-\infty,-2]\cup[2,+\infty[\\|P(x)|\ge\frac{1}{|x|-1}>0}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Inégalité d un polynôme 08-09-05 à 01:44

(b) il s'agit de montrer que
si M est un réel positif tel que tout polynome P de la forme
\fbox{\{{P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+..+a_{1}x+a_0\\(\forall i\in\{0,..,n-1\}) a_i\in[-1,+1]}
ne s'annule pas sur ]-\infty,-M]\cup[M,+\infty[
alors M\ge2
ou encore par contraposée:
si M<2 alors il existe un polynome de la forme encadrée qui s'annule sur ]-\infty,M]\cup[M,+\infty[

supposons alors M<2 et considérons les polynomes:
\{{P_{n}(x)=x^{2n}-\bigsum_{i=0}^{2n-1}x^i\\n\ge1
il est clair que les polynomes P_n sont bien de la forme demandée et on a:
\{{P_{n}(1)=1-2n\\P_{n}(x)=\frac{x^{2n+1}-2x^{2n}+1}{x-1} si x\neq1
posons alors Q_n(x)=x^{2n+1}-2x^{2n}+1 on a:
\{{Q_n(2)=1\\Q_{n}'(x)=(2n+1)x^{2n-1}(x-\frac{4n}{2n+1})
comme \lim_{n\to+\infty}Q_n(\frac{4n}{2n+1})=\lim_{n\to+\infty}1-\frac{2}{2n+1}(\frac{4n}{2n+1})^{2n}=-\infty on est certain que Q_n(\frac{4n}{2n+1})<0 (à partir d'un certain rang)
et donc que Q_n s'annule sur l'intervalle ]\frac{4n}{2n+1},2[ (théorème des valeurs intermédiaires)
mais alors: \fbox{\{{M<2\\ \lim_{n\to+\infty}\frac{4n}{2n+1}=2}
on a donc encore la certitude qu'à partir d'un certain rang les \frac{4n}{2n+1} vont s'intercaler entre M et 2 et donc que Q_n et par suite P_n s'annule sur [M,+\infty[
CQFD



Posté par Serphone (invité)re : Inégalité d un polynôme 08-09-05 à 10:46

Bonjour,
Merci d'avoir répondu si vite
en ce qui concerne le (b), voici ma démonstration:
On sait que si P(x)=0 alors |x| M
Comme dans le (a), supposons |x| > M, on a alors P(x) 0

Or on a vu vu que |P(x)| (|x|^n(|x| - 2) + 1)/(|x| - 1)

donc (|x|^n(|x| - 2) + 1)/(|x| - 1) > 0

alors |x| > 2

Conclusion: On a donc bien si P(x) = 0 et |x|M, alors M 2.

Cette démonstration est peut être moins détaillé que la tienne, mais là je me sens capable de la justifier si besoin. Y a t-il cependant des erreurs dans ma démonstration?

Merci pour votre aide

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Inégalité d un polynôme 08-09-05 à 12:05

Bonjour Serphone;
j'ai bien peur qu'il y'ait des erreurs articulées dans ton raisonnement:
(1) Comment de \fbox{|P(x)|\ge\frac{|x|^n(|x|-2)+1}{|x|-1}} tu déduis que \fbox{\frac{|x|^n(|x|-2)+1}{|x|-1}>0} ?
C'est comme si tu dis que \fbox{et\{{a>0\\a\ge b}\Longrightarrow \fbox{b>0}
(2) Comment de \fbox{\frac{|x|^n(|x|-2)+1}{|x|-1}>0} tu déduis que \fbox{|x|>2} ?
tu vois bien que \lim_{x\to2^{-}}\frac{|x|^n(|x|-2)+1}{|x|-1}=1

Posté par Serphone (invité)re : Inégalité d un polynôme 08-09-05 à 12:20

Bonjour,
Pour le (1) j'ai tiré que (|x|^n(|x| - 2) + 1)/(|x| - 1) > 0 de la question precédente, car l'on sait maintenant que l'implication P(x)=0 |x|M est vraie.

Par contre pour le (2), je suis allé un peu vite en besogne c'est vrai .. Utiliser le polynôme Q(x) de ta démonstration est préférable non?

Merci pour tes conseils

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Inégalité d un polynôme 08-09-05 à 13:21

Attention au raisonnement,
\fbox{P(x)=0\Longrightarrow|x|<2} implication vraie (d'aprés (a) )
\fbox{P(x)=0\Longrightarrow|x|\le M} implication vraie par définition de M
néanmoins la vérité de ces deux implications ne permet pas de comparer M et 2
C'est comme si tu dis:
\fbox{et\{{(A)\Longrightarrow(B)\\(A)\Longrightarrow(C)}\Longrightarrow\fbox{ou\{{(B)\Longrightarrow(C)\\(C)\Longrightarrow(B)}


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