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Inégalité de cauchy

Posté par
karim 24-03-07 à 22:31

Bonsoir,
Par simple curiosité, j'aimerais savoir si quelqu'un peut me donner la démonstration de l'inégalité de Cauchy dans C (dans R je connais).
Merci d'avance

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de cauchy 24-03-07 à 22:34

Bonsoir

tu parles de l'inégalité de Cauchy-Schwarz ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de cauchy 24-03-07 à 22:37

autre chose : lorsque tu dis dans \Large{\mathbb{C}} ou dans \Large{\mathbb{R}}, tu fais référence au corps de base de l'espace vectoriel que l'on considère ?

Kaiser

Posté par
karimre : Inégalité de cauchy 24-03-07 à 22:45

je parles en effet de l'inégalité de cauchy-schwarz ! oui oui, cad que les termes
a1, a2 .......... qu'on défini sont tous des complexes !

Posté par
karimre : Inégalité de cauchy 24-03-07 à 22:46

mais au lieu des valeurs absolues, il ya les modules !

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de cauchy 24-03-07 à 23:12

On considère le produit scalaire hermitien défini sur \Large{\mathbb{C}^{n}} par :

\Large{(x|y)=\bigsum_{i=1}^{n}\bar{x_{i}}y_{i}}

Il faut montrer que \Large{|(x|y)|\leq ||x||||y||}

si \Large{(x|y)=0} alors l'inégalité est vérifiée.
Supposons donc que ce produit scalaire est un complexe non nul donc il existe un réel \Large{\theta} tel que \Large{(x|y)=|(x|y)|e^{i\theta}}

Pour t un réel quelconque, posons \Large{f(t)=||x+te^{i\theta}y||^{2}}

alors pour tout t, on a :

\Large{f(t)=(x+te^{i\theta}|x+te^{i\theta})=(x|x)+(x|te^{i\theta}y)+(te^{i\theta}y|x)+(te^{i\theta}y|te^{i\theta}y) \\ =||x||^{2}+te^{i\theta}(x|y)+te^{-i\theta}(y|x)+t^{2}||y||^{2}}

or par définition de \Large{\theta}, on a \Large{|(x|y)|=e^{-i\theta}(x|y)} mais comme c'est un réel c'est aussi égal à son conjugué donc on a aussi \Large{|(x|y)|=e^{i\theta}\bar{(x|y)}=e^{i\theta}(y|x)}

donc

\Large{f(t)=||x||^{2}+2t|(x|y)|+t^{2}||y||^{2}}

On remarque alors que f est une fonction polynomiale de degré 2 et positive donc donc son discriminant est négatif (et on finit comme dans le cas réel).

Kaiser

Posté par
karimre : Inégalité de cauchy 24-03-07 à 23:33

ca veut dire quoi hermitien (c'est dans le programme de spé... )

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de cauchy 24-03-07 à 23:40

oui c'est dans le programme de spé.
hermitien signifie que l'on a la propriété : \Large{(x|y)=\bar{(y|x)}}

ça remplace la propriété de symétrie des produits scalaires que l'on a dans les espaces vectoriels réels.

Kaiser

Posté par
karimre : Inégalité de cauchy 24-03-07 à 23:55

désolé d'insister, mais que signifie la barre au dessus de (y|x)?

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de cauchy 24-03-07 à 23:57

la conjugaison complexe !

Kaiser

Posté par
ottore : Inégalité de cauchy 25-03-07 à 05:05

Si tu ne comprends pas les termes utilisés, c'est que tu ne comprends pas l'inégalité elle même ...

Posté par
romure : Inégalité de cauchy 25-03-07 à 17:37

Citation :
On remarque alors que f est une fonction polynomiale de degré 2 et positive donc donc son discriminant est négatif


Justement, j essaie désespérement de comprendre pourquoi?
Par l absurde, j y arrive pas. Visuellement je vois pas non plus pourquoi il n y aurait pas deux racines mm si la fonction est positive.
Aidez-moi s'il vous plaît!!!!  

Posté par
Roulianere : Inégalité de cauchy 25-03-07 à 17:40

Bonjour,

Si elle est positive, elle a soit une racine ( déterminant nul )  soit aucune racine ( déterminant strictement négatif ).

Posté par
ottore : Inégalité de cauchy 25-03-07 à 17:42

C'est quand même plus qu'évident.
Le discriminant te permet de voir si tu as des racines complexes ou réelles.
Si ton polynôme est strictement positif, par définition ca signifie qu'il n'atteint jamais 0 sur R. Donc tu n'as pas de racines réelles.

Posté par
Roulianere : Inégalité de cauchy 25-03-07 à 17:46

Bonjour Otto,

Sauf erreur, le discriminant peut très bien etre nul, non ?

Posté par
romure : Inégalité de cauchy 25-03-07 à 17:50

salut rouliane,
je ne connais pas ces notions sur le déterminant.
C est le déterminant de quoi au fait?
je commence à voir visuellement (j avais zappé que la courbe est une parabole),
mais je vois pas comment justifier formellement ce résultat.
Enfin a priori je vois pas du tout le lien entre les déterminants et les discriminant. ;(

Posté par
ottore : Inégalité de cauchy 25-03-07 à 17:52

Si la fonction est strictement positive le discriminant est strictement négatif.
Si la fonction est positive et s'annule, alors le discriminant est nul, racine double.

romu, tu es en licence et tu n'as jamais vu un discriminant? C'est pourtant du niveau de seconde ou de première.

Posté par
romure : Inégalité de cauchy 25-03-07 à 18:09

j avoue c est le bad, otto.

Citation :
Si la fonction est strictement positive le discriminant est strictement négatif.


ça c'est ok.

Citation :
Si la fonction est positive et s'annule, alors le discriminant est nul, racine double.


ça, ça l'est beaucoup moins,  je vois pas comment montrer que la racine est forcément double dans ce cas. Je pense que je vais essayer ce plan :

- on suppose que la fonction polynômiale de deg 2 f est positive et s'annule au moins une fois;
- on montre que comme f est une fonction polynômiale de deg 2, elle est paire;
- si on suppose qu'elle possède deux racines distinctes x1 et x2,
ie f(x1) = f(x2) = 0, alors x1 = -x2;
- comme 0 est racine, l autre racine est aussi 0 ---> contradiction
donc f admet une racine double.

il tient la route ce plan?

Posté par
ottore : Inégalité de cauchy 25-03-07 à 19:20

???
Une fonction polynômiale de degré 2 n'est pas nécessairement paire.
f(x)=(x+1)^2 par exemple
Mais grosso modo, tu peux utiliser cette idée parce que tu peux te ramener à un polynôme pair. (en faisant un changement de variable par exemple).

Es-tu en licence de maths?

Un polynôme de degré n a toujours n racines dans C.
C'est clair que si ton polynôme est réel, ses racines complexes sont nécessairement conjuguées.
En outre, un polynôme de degré 2 qui a une seule racine réelle, ne peut pas avoir de racine complexe. C'est donc que sa racine réelle est double.

Posté par
romure : Inégalité de cauchy 25-03-07 à 19:22

ah je suis co*il*on, f est pas forcément paire vu que c est pas centré en 0, donc il sert à rien ce plan. Mais quel mauvais je suis !

Bon je viens de me faire un rappel et j ai vu un vieux souvenir comme quoi,
si f(x) = ax²+bx+c, avec a différent de 0
alors f prend le signe de a, sauf entre les racines, je vais essayer de me débrouiller avec ça.
Les prochaines questions, je crois que je devrai mieux les poser dans le forum lycée

Posté par
romure : Inégalité de cauchy 25-03-07 à 19:28

vi otto je t assure que je suis en licence, mais souvent je découvre de grosses lacunes qui datent de loin :(

Posté par
ottore : Inégalité de cauchy 25-03-07 à 19:29

Dans ce cas, tu devrais revoir tes cours de première et de terminale, surtout les trucs avec lesquels tu n'es pas à l'aise.
a+

Posté par
romure : Inégalité de cauchy 25-03-07 à 19:46

ok merci otto pour ton conseil, c est bon finalement je m en suis sorti.

Posté par
ottore : Inégalité de cauchy 25-03-07 à 19:47

Tant mieux
a+


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