Niveau Maths sup

inegalité de Cauchy-Schwarz

Posté par jacko78 (invité) 09-04-05 à 13:20

Bonjour, j'au un exercice portant sur l'inegalité de Cauchy-Schwarz que je n'arrive pas a terminer.

Je la rappelle a tout hasard : Pour tout couple (f,g) de fonctions continues sur un segment [a,b], on a : $(\Bigint_a^b (fg)(t) dt)^2 \le \Bigint_a^b f^2(t) dt \times \Bigint_a^b g^2(t) dt$ .

Voici maintenat l'énoncé :

a) Montrer que :
- pour tout reel x tel que $\textrm a \le x \le \frac{a+b}{2} : f^2(x) \le (x-a)\Bigint_a^{\frac{a+b}{2}} (f'(t))^2 dt$
- pour tout reel x tel que $\textrm \frac{a+b}{2} \le x \le b : f^2(x) \le (b-x)\Bigint_{\frac{a+b}{2}}^b (f'(t))^2 dt$

Ca c'est bon je suis parvenu a le montrer. Le probleme est la b).

b) En deduire que : $(\Bigint_a^b f(x) dx)^2 \le \frac{(b-a)^3}{8}\Bigint_a^b (f'(t))^2 dt$

Quelqu'un peut il m'aider a conclure svp?
Merci a tous

Posté par titimarion (invité)re : inegalité de Cauchy-Schwarz 09-04-05 à 14:55

Salut
par CS
$(\int_a^bf(x)dx)^2\le\int_a^bf^2(x)dx\times \int_a^bdx\le(b-a)\int_a^bf^2(x)dx$
Or $\displaystyle\int_a^bf^2(x)dx=\int_a^{\frac{a+b}{2}}f^2(x)dx+\int_{\frac{a+b}{2}}^bf^2(x)dx\le\int_a^{\frac{a+b}{2}}\int_a^{\frac{a+b}{2}}f'^2(t)(b-x)dxdt+\int_{\frac{a+b}{2}}^b\int_{\frac{a+b}{2}}^b(x-a)f'^2(t)dxdt$
Ainsi tu peux utiliser Fubini et tu obtiens
$\int_a^{\frac{a+b}{2}}\int_a^{\frac{a+b}{2}}f'^2(t)(x-a)=(\int_a^{\frac{a+b}{2}}(x-a)dx)\times \int_a^{\frac{a+b}{2}}f'^2(x)dx)$
Et tu dois pouvoir montrer que $\int_a^{\frac{a+b}{2}}(x-a)dx\le\frac{(b-a)^2}{8}$
en rassemblant tout tu obtiens le résultat escompté, je m'excuse j'ai un petit pb de clavier je ne peux pas détailer plus pour le moment, si tu as des soucis repost dans le même topic

Posté par jacko78 (invité)re : inegalité de Cauchy-Schwarz 09-04-05 à 15:30

J'ai effectivement un petit probleme, je ne sai sce qu'"est fubini exactement, quel est ce resultat?

Posté par jacko78 (invité)re : inegalité de Cauchy-Schwarz 09-04-05 à 15:40

J'ai oublié de preciser qu'initialement on avait la condition f(a)=f(b)=0

Posté par titimarion (invité)re : inegalité de Cauchy-Schwarz 09-04-05 à 15:50

En fait dans ton cas on n'a pas besoin vraiment du th de Fubini le principe est juste de dire qu'en toute généralité on a l'égalité suivante
$\int_a^b\int_a^bf(x)g(t)dxdt=\int_a^bf(x)dx\times\int_a^bg(t)dt$

Posté par jacko78 (invité)re : inegalité de Cauchy-Schwarz 09-04-05 à 15:53

oui c'est ce que je viens de m'apercevoir... D'ailleurs ca y est j'ai terminé merci de ton aide et a bientot titimarion

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