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Inégalité de Hilbert

Posté par
monrow Posteur d'énigmes 21-03-08 à 14:46

Salut !

Un autre petit exo

Citation :


Soit 3$\rm P\in\mathbb{R}[X]

1) Montrer que 3$\rm\Bigint_{-1}^{1}P(x)dx=-i\Bigint_{0}^{\pi}P(e^{i\theta})e^{i\theta}d\theta

2) En déduire que 3$\rm\Bigint_{-1}^{1}P^2(x)dx\le \frac{1}{2}\Bigint_{-\pi}^{\pi}\|P(e^{i\theta})\|^2\theta


Bon, la première question est un simple changement de variable ! euuuh et la deuxième?

Merci d'avance

Posté par
soucoure : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 16:43

Je pense qu'il faut munir ton espace d'un produit hermitien par une intégrale et y appliquer l'inégalité de Cauchy Schwartz, mais je ne suis pas certain qu'elle reste encore valable.

J'ai peur de dire de bêtise, perso je me suis arrêté aux espaces préhilbertiens réels.

Dans les grandes lignes ça doit être ça !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 17:56

Salut soucou !

Cet exo est dans le cadre d'intégration ! et j'ai bien peur aussi qu'il y aura ici une petite introduction de produits hermitiens ! parce que si c'est le cas je vais laisser tomber

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 18:02

Bonjour à tous

monrow > ta réponse à la première question m'intrigue : quel changement de variable ?

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 18:50

Salut Kaiser !

J'étais sûr qu'il y a une grosse erreur ! bon voyonx : j'ai posé x=e^{i\theta} mais je pense qu'il y a un problème de bornes, c'est ça?

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 19:23

ça ne marche pas car tu "sors" de l'intervalle : lorsque theta varie, l'exponentielle complexe ne prend pas ses valeurs sur [-1,1].
Il faut trouver autre chose.

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 20:09

si j'ai bien compris je ne peux même pas prendre un changement de variable qui n'est pas réel vu que ce n'est pas un segment (pas d'ordre dans C) puis puisque P € R[X] ....

je n'ai pas trouvé une autre méthode

Posté par
ottore : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 20:50

C'est assez clair qu'il suffit de démontrer le résultat pour les monômes, non ?

Posté par
ottore : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 21:01

Pour la deuxième, je pense qu'il suffit de faire le produit dans le membre de droite et que tout se passe bien ...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 21:15

salut otto !

oui, j'ai montré que pour tout k, x^k vérifie l'égalité, et donc on peut d'étendre à n'importe quel polynôme, c'est ça?

pour la deuxième, faire le produit par quoi?

merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 22:05

Citation :
si j'ai bien compris je ne peux même pas prendre un changement de variable qui n'est pas réel vu que ce n'est pas un segment (pas d'ordre dans C) puis puisque P € R[X] ....


Le fait de poser \Large{x=e^{i\theta}} n'a pas de sens, car les éléments de [0,1] ne s'écrivent pas ainsi.

Kaiser

Posté par
ottore : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 22:24

Il y'a pourtant un lien non ?
L'intégrale sur [-1,1] est égal à l'opposé de l'intégrale sur le demi cercle unité positif

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 22:29

Je suis d'accord, otto, à condition d'aborder une théorie un peu plus avancée (intégrale sur un chemin, et même analyse complexe, car, même si ce n'est pas le cas ici il se pouvait que l'on ait affaire à une singularité dont on ait fait le tour. bref, on ne peut pas trop en parler).

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 22:41

Donc maintenant c'est juste ce que j'ai fait en 21h15?

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 22:44

monrow > oui, c'est ça : c'est vrai pour tout monôme et par linéarité, ça sera vrai pour tout polynôme.

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 22:45

Ok.

Un petit indice pour la deuxième?

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 22:48

ben, en fait, pour l'instant, je n'ai pas encore trouvé comment faire.

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 22:59

Ok.

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 23:07

je crois avoir une idée :

utilise 1) avec P²(x) ainsi que P²(-x).

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 23:12

euh:

3$\rm\Bigint_{-1}^{1}P^2(x)dx=-i\Bigint_{0}^{\pi}P^2(e^{i\theta})e^{i\theta}d\theta

et pour P²(-x)? je remplace simplement par - dans P²?

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 23:14

je ne comprends pas. Pourrais-tu l'écrire ?

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 23:17

ok même si je ferai un peu de mes bêtises usuelles.

3$\rm\Bigint_{-1}^{1}P^2(-x)dx=-i\Bigint_{0}^{\pi}P^2(-e^{i\theta})e^{i\theta}d\theta

?

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 23:20

si, si, c'est bien ça.
maintenant, essaie "d'arranger" un peu cette égalité.


Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 23:23

elles sont égales toutes les deux non?

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 23:24

qui donc ?

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 23:27

3$\rm\Bigint_{-1}^{1}P^2(-x)dx=\Bigint_{-1}^{1}P^2(x)dx

donc: 3$\rm -i\Bigint_{0}^{\pi}P^2(-e^{i\theta})e^{i\theta}d\theta=-i\Bigint_{0}^{\pi}P^2(e^{i\theta})e^{i\theta}d\theta

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 23:33

oui, mais on va faire autre chose (cela dit, on va se servir de la première égalité)

Essaie de transformer \Large-i\Bigint_{0}^{\pi}P^2(-e^{i\theta})e^{i\theta}d\theta en une intégrale sur \Large{[-\pi,0]}.
Ensuite, essaie de donner une majoration de \Large{2\Bigint_{-1}^{1}P^2(x)dx}

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 23:39

Citation :
Essaie de transformer  en une intégrale sur .


c'est pas la même chose? puisquee^{-i\theta}=e^{i(\pi-\theta)}

j'ai peur d'utiliser un changement de variable !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 23:39

e^{-i\theta}=e^{i(\theta-\pi)}

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 23:44

non, ça c'est faux.
Par contre, \Large{-e^{i\theta}=...} ?

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 23:46

oui oui je voulais dire: -e^{i\theta}=e^{i(\theta-\pi)}

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 23:47

maintenant, effectue un changement de variable.

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 23:52

oui donc: \Large-i\Bigint_{0}^{\pi}P^2(-e^{i\theta})e^{i\theta}d\theta=\Large-i\Bigint_{-\pi}^{0}P^2(e^{i\theta})e^{i\theta}d\theta

et donc: \Large{2\Bigint_{-1}^{1}P^2(x)dx}=\Large-i\Bigint_{-\pi}^{\pi}P^2(e^{i\theta})e^{i\theta}d\theta

je pense qu'il faut juste passer au module et tout sera bon, c'est ça?

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de Hilbert 21-03-08 à 23:57

pour ta première égalité, ce n'est pas exactement ça : il manque un signe moins (n'oublie pas l'exponentielle qui est toute seule, lorsque tu fais ton changement de variable).

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité de Hilbert 22-03-08 à 00:00

oohh oui ! c'est minuit :s (même si c'est 23h chez nous )

l'intégrale de P² sera nulle ou quoi?

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de Hilbert 22-03-08 à 00:03

ben non, pourquoi ? (ce n'est pas sur le même intervalle que l'on intégre).

Bref, ensuite, il suffit de majorer brutalement.

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité de Hilbert 22-03-08 à 00:09

3$\rm2\Bigint_{-1}^{1}P^2(x)dx=-i\Bigint_{0}^{\pi}P^2(e^{i\theta})e^{i\theta}d\theta+i\Bigint_{-\pi}^{0}P^2(e^{i\theta})e^{i\theta}d\theta

j'avoue que je bloque

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de Hilbert 22-03-08 à 00:12

là tu prends le module et tu majores brutalement (pour faire rentrer les valeurs absolues sous l'intégrale)

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité de Hilbert 22-03-08 à 00:14

3$\rm2\Bigint_{-1}^{1}P^2(x)dx\le\Bigint_{0}^{\pi}|P^2(e^{i\theta})|d\theta+\Bigint_{-\pi}^{0}|P^2(e^{i\theta})|d\theta

et c'est fini je pense ...

excuse mes réflexes vraiment trop lents !

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de Hilbert 22-03-08 à 00:16

aucun problème.

et du coup, c'est bien fini.

Kaiser

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité de Hilbert 22-03-08 à 00:18

Merci bcp Kaiser ! Tu m'as sauvé sur plusieurs topics  là

Posté par
kaiser Moderateurre : Inégalité de Hilbert 22-03-08 à 00:20

Pour ma part, je t'en prie !

Posté par
ottore : Inégalité de Hilbert 22-03-08 à 15:43

Il me semblait qu'on pouvait y aller directement, mais j'avoue ne pas avoir vraiment essayé.

En revanche, ça me fait beaucoup penser à un théorème de type Plancherel, j'aimerais bien voir ce que ça donne dans cette direction ...


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