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Inégalité de Van der Corput

Posté par
Panter Correcteur 13-04-07 à 02:15

Bonsoir, Voici ma proposition pour cette soirée, Bonne recherche :
Soient 4$ (a,b) \in \mathbb{R}^2 tel que 4$ a<b, 4$ \begin{array}{rcccl} \\ f&:&[a,b]&\to& \mathbb{R}\\ \\ \end{array} de classe 4$ \mathfrak{C}^2.

On note 4$ \lambda = \inf_{t\in [a,b]} |f^{''}(t)| et on suppose 4$ \lambda >0 .

- Démontrer : 5$ | \bigint_{a}^b e^{if(t)}\, \mathrm dt| \leq \frac{8}{\sqrt{\lambda}}

Posté par
Cauchyre : Inégalité de Van der Corput 13-04-07 à 02:33

Bonsoir,

5$%20|%20\bigint_{a}^b%20e^{if(t)}\,%20\mathrm%20dt|%20\leq \int_{a}^{b} |e^{if(t)}| dt \leq (b-a)

Donc si 3$b-a \leq \frac{8}{\sqr{\lambda}} c'est fini,maintenant pour la suite

Posté par vendredi (invité)re : Inégalité de Van der Corput 13-04-07 à 09:59

Bonjour Panter,

Tu es sur que la majoration ne dépend pas de a et b ?!

A+

Posté par vendredi (invité)re : Inégalité de Van der Corput 13-04-07 à 12:28


OK, j'ai l'impression que et la longeur de
l'intervalle [a,b] sont assez "liés".
Je ne suis donc plus étonné...

Posté par
Panter Correcteurre : Inégalité de Van der Corput 13-04-07 à 15:30

Cauchy : c'est une démonstration mathématique ce que tu as écris la ?

Posté par
ottore : Inégalité de Van der Corput 13-04-07 à 15:39

Pourquoi cette question Panter?

Posté par
anonymere : Inégalité de Van der Corput 13-04-07 à 16:21

la démo de cette inégalité est abordable pour un élève de SUP ?

Posté par vendredi (invité)re : Inégalité de Van der Corput 13-04-07 à 18:05


Oui, j'avais la même question. Les outils utilisés sont de quel niveau ?

En tout cas, c'est une jolie et étrange inégalité.
Elle est utilisée dans quels domaines ?

Posté par
Cauchyre : Inégalité de Van der Corput 13-04-07 à 21:11

J'ai pas compris ta question Panter ?

Posté par
Panter Correcteurre : Inégalité de Van der Corput 13-04-07 à 23:21

expliques ta demonstration Cauchy

Posté par
anonymere : Inégalité de Van der Corput 13-04-07 à 23:22

Panter je répète ma question, faut il des outils sophistiqués pour démontrer cette inégalité ?

Posté par
Panter Correcteurre : Inégalité de Van der Corput 13-04-07 à 23:24

Non, C'est un exo de Spé

Posté par
Cauchyre : Inégalité de Van der Corput 13-04-07 à 23:25

Comment ca explique je suis loin d'avoir conclu,j'ai juste utilisé que le module vaut 1 car f est à valeurs réelles.

Posté par
anonymere : Inégalité de Van der Corput 13-04-07 à 23:25

bon disons que grâce à ce qu'a écrit cauchy on peut déjà distingué un premier cas où b-a<2/rac(lambda) ?

Posté par
Panter Correcteurre : Inégalité de Van der Corput 13-04-07 à 23:28

bon,
continue et on verra

Posté par
Cauchyre : Inégalité de Van der Corput 13-04-07 à 23:31

hatimy pourquoi tu choisis 2?

Posté par
anonymere : Inégalité de Van der Corput 13-04-07 à 23:50

ais je droit de supposer que f' différent de zéro parce que ça m'empêche d'avancer !

Posté par
Cauchyre : Inégalité de Van der Corput 13-04-07 à 23:52

Mets moi un vent

Posté par
anonymere : Inégalité de Van der Corput 13-04-07 à 23:54

Ben cauchy, c'est que je ne sais intégrer que quelque chose de la forme :
f'exp(if)... donc une intégration par partie me tente ici ... en simplifiant et multipliant par du f'! qu'en penses tu ?

Posté par
Cauchyre : Inégalité de Van der Corput 13-04-07 à 23:58

Non je parlais pourquoi tu distingues les cas b-a<2/rac(lambda) et b-a>2/rac(lambda) et pas b-a<8/rac(lambda),il y a quelque chose qui te pousse à faire ca?

Posté par
anonymere : Inégalité de Van der Corput 14-04-07 à 00:02

Ben justement c'est apparu au fil de mon raisonnement, mais qui bloque au niveau de f' qui s'annule ou pas .

Posté par
Cauchyre : Inégalité de Van der Corput 14-04-07 à 00:04

Bien suppose que f' ne s'annule pas dans un premier temps,après t'essaieras d'adapter.

Posté par vendredi (invité)re : Inégalité de Van der Corput 14-04-07 à 17:15

Bonjour Panter,

Une indication ? Je sèche complètement

Posté par
Panter Correcteurre : Inégalité de Van der Corput 15-04-07 à 00:23

Bon, d'accord

Il faut distinguer les cas suivants :

cas 1 : 5$ \red b-a \leq \frac{2}{\sqrt{\lambda}}

cas 2 : 5$\red b-a > \frac{2}{\sqrt{\lambda}} et 5$ \blue f^'(x) \geq 0 .

cas 3 : 5$ \red b-a > \frac{2}{\sqrt{\lambda}} et 5$ \blue f^'(x) \leq 0 .

Posté par
anonymere : Inégalité de Van der Corput 15-04-07 à 01:30

sauve moi panter please! parceque je veux également supposé que f' ne s'annule pas ! et je ne peux pas traiter cela à part !

Posté par
Cauchyre : Inégalité de Van der Corput 15-04-07 à 01:46

hatimy,

si f' est positive on a par le TAF pour t dans ]a,b[:

3$f'(t)-f'(a) \geq (t-a) \lambda>0 donc:

3$f'(t)>0

Posté par
Panter Correcteurre : Inégalité de Van der Corput 15-04-07 à 15:52

Bon pour ceux qui aimeront voir la correction :

Ce corrigé est exactement comme le mien (D'ailleurs c'est le seul que je connais jusqu'à présent ! )

Mais essayez comme même de le faire .

Posté par
anonymere : Inégalité de Van der Corput 15-04-07 à 18:15

ça peut faire l'objet d'un bon exercice de colle ?

Posté par
Panter Correcteurre : Inégalité de Van der Corput 16-04-07 à 00:35

Oui, Pourquoi pas, mais en spé surtout

Posté par
Panter Correcteurre : Inégalité de Van der Corput 16-04-07 à 01:39

Bon je vous remercie tous de votre attention et j'éspère que ca était interessant pour vous

Posté par
Cauchyre : Inégalité de Van der Corput 16-04-07 à 02:08

Intéressant oui mais pas facile quand même à trouver c'est astucieux

Posté par
Panter Correcteurre : Inégalité de Van der Corput 17-04-07 à 01:13

Ah, j'ai oublié de vous dire qu'il existe en fait une autre forme de cet inégalité, elle s'appelle l'inégalité de Van Der Corput avec des suites :


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