Bonjour
Si tu as déjà vu que sin x x pas de problème! Sinon, commence par étudier la fonction f(x)=x-sin x sur [0,/2]

Bonjour

L'inégalité des accroissement fini nous donne :

On élève au carré et on prend l'inverse, on obtient le résultat voulu.

oui, j'avais déjà montré l'inégalité de gauche mais je bloquais pour le cotangente...
merci

de droite pardon !

C'est mal parti, car x = 0 est interdit

Je suppose que c'est dans ]0; Pi/2]
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g(x) = 1/x² - 1/sin²(x) avec x dans ]0 ; Pi/2]

g(x) = (sin²(x) - 1)/(x².sin²(x))

g(x) = - cos²(x)/(x².sin²(x))

cos²(x)/(x².sin²(x)) >= 0 à cause des carrés -->

g(x) <= 0

1/x² - 1/sin²(x) <= 0

1/x² <=  1/sin²(x)   (1)
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C'est quoi cot ? le cri d'une poule ?

Est-ce cotangente ?

h(x) = cotg²(x) - (1/x²) avec x dans ]0 ; Pi/2]
h(x) = cos²(x)/sin²(x) - (1/x²)
h(x) = (x²cos²(x) - sin²(x))/(x².sin²(x))
h(x) = (x.cos(x) - sin(x))(x.cos(x) + sin(x))/(x².sin²(x))

(x.cos(x) + sin(x))/(x².sin²(x)) > 0 dans ]0 ; Pi/2] puisque le sinus et le cosinus y sont positifs.

--> h(x) a le signe de q(x) = (x.cos(x) - sin(x))

q'(x) = cos(x) - xsin(x) - cos(x) = -x sin(x)
q'(x) < 0 sur ]0 ; Pi/2] --> q(x) est décroissante.

lim(x -> 0+) q(x) = 0

Et donc q(x) < 0 sur ]0 ; Pi/2]  

--> h(x) < 0 sur ]0 ; Pi/2]  

cotg²(x) - (1/x²) < 0 sur ]0 ; Pi/2]  

cotg²(x) < (1/x²) 0 sur ]0 ; Pi/2]  (2)
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(1) et (2) -->

cotg²(x) < (1/x²) <=  1/sin²(x) sur ]0 ; Pi/2]  
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Sauf distraction.  

euh oui, cotangente est noté cot dans l'énoncé, personellement je le note cotan...

oui, il s'agit bien de cotangente, ma prof le note comme ca...