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Inégalité entre les valeurs moyennes et convexité

Posté par
g0217d 25-06-18 à 20:05

Bonjour,
Pourriez vous m'aider à résoudre le problème suivant. Je cherche à prouver que \tan(x) est convexe sur {\displaystyle \left[0, {{\pi}\over{2}}\right[} avec l'inégalité :

{\displaystyle f\left({\dfrac {a+b}{2}}\right)\leq {\dfrac {f(a)+f(b)}{2}}.}

Je précise que je sais qu'on peut utiliser le signe de la dérivée seconde de \tan(x) ; d'ailleurs, c'est assez facile de prouver la convexité de \tan(x) avec ça ; mais il faut impérativement utiliser l'inégalité entre les valeurs moyennes ci-dessus.
Pour l'instant, j'ai choisi de poser {\displaystyle u = \tan\left(\dfrac{a}{2}\right)} et {\displaystyle v = \tan\left(\dfrac{b}{2}\right)}. Dans ce cas, j'obtiens avec les identités trignométriques :

{\displaystyle \dfrac{u+v}{1-uv} \leq \dfrac{u}{1-u^2} + \dfrac{v}{1-v^2}}  avec  u, v \in [0, 1[.

Là, on remarque que pour u = v, il y a égalité ; donc quitte à permuter u et v, on peut supposer que u < v. En partant de u < v, j'obtiens après différentes opérations :

{\displaystyle \dfrac{u}{1-u^2} \leq \dfrac{u}{1-uv} \leq \dfrac{v}{1-uv} \leq \dfrac{v}{1-v^2}.}

Mais ensuite, je coince.

Posté par
Razesre : Inégalité entre les valeurs moyennes et convexité 25-06-18 à 20:28

Bonjour,

Étudie la convexité.

Posté par
g0217dre : Inégalité entre les valeurs moyennes et convexité 25-06-18 à 20:37

Oui, c'est ce que j'ai commencé à faire, c'est-à-dire que :

{\displaystyle \tan\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \geq \dfrac{\tan(a)+\tan(b)}{2}}  avec  {\displaystyle \left[0, {{\pi}\over{2}}\right[}

est équivalent à :

{\displaystyle \dfrac{u+v}{1-uv} \leq \dfrac{u}{1-u^2} + \dfrac{v}{1-v^2}}  avec  u, v \in [0, 1[.

Posté par
carpediemre : Inégalité entre les valeurs moyennes et convexité 25-06-18 à 21:19

salut

en mutlipliant par le produit des dénominateurs qui sont positifs :

u(1 - v^2) + v(1 - u^2) = u + v - uv(u + v) = (u + v)(1 - uv)

donc le second membre est (u + v)(1 - uv)^2

le premier membre est (u + v)(1 - u^2)(1 - v^2)

or (1 - uv)^2 = 1 - 2uv + u^2v^2  et  (1 - u^2)(1 - v^2) = 1 - u^2 - v^2 + u^2v^2

or (u \pm v)^2 \ge 0 \iff u^2 + v^2 \ge \pm 2uv

...

Posté par
g0217dre : Inégalité entre les valeurs moyennes et convexité 25-06-18 à 21:58

Merci beaucoup.

Posté par
carpediemre : Inégalité entre les valeurs moyennes et convexité 26-06-18 à 00:04

de rien


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