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inegalité et factorielle

Posté par
MarieLor 06-02-17 à 22:10

Bonjour,
Je révise pour le CAPES et je bloque sur une question de la session 2010. J'ai le corrigé mais je ne comprends un passage.
Soit un entier n1 et soit un entier a2. Montrer que :
\sum_{k=an+1}^{+\infty }{\frac{Hk}{k!} n^k}\leq \frac{n^\left( an+1\right)}{(an)!}\sum_{k=0}^{+\infty }{\left( \frac{1}{a}\right)^k}
Avec Hk=\sum_{p=0}^{k}{\frac{1}{p}}

Le corrigé donne :
soit kan+1. On a \sum_{p=1}^{k}{\frac{1}{p}}\leq k

\sum_{k=an+1}^{+\infty }{\frac{Hk}{k!}n^k}=\frac{1}{(an)!}\sum_{k=an+1}^{=\infty }{\frac{(an)!Hk}{k!}n^k} \leq \frac{1}{(an)!}\sum_{k=an+1}^{+\infty }{\frac{(an)!k}{k!}}n^k =\frac{1}{(an)!}\sum_{k=an+1}^{+\infty }{\frac{(an)!}{(k-1)!}}n^k

Jusque là pas de problème.  juste après l'inégalité suivante apparait :

\leq \frac{1}{(an)!}\sum_{k=an+1}^{+\infty }{\frac{1}{(an)*...*(an)}n^k} avec ((k-1)-(an)) termes au dénominateur
et là je ne comprends pas du tout comment on peut arriver à ça.
J'ai bien essayé en disant que pour le numérateur on peut dire que (an)!\leq (an)^\left(an \right) mais pour le dénominateur je bloque...

Pouvez-vous m'aider?
Merci beaucoup

Posté par
verdurinre : inegalité et factorielle 06-02-17 à 22:25

Bonsoir.

Pour prendre un exemple avec k=an+3.

\dfrac{(an)!}{(k-1)!}=\dfrac{(an)!}{(an+2)!}=\dfrac1{a(n+1)\times a(n+2)}\le \dfrac1{an\times an}

Posté par
verdurinre : inegalité et factorielle 06-02-17 à 22:26

Oups

\dfrac{(an)!}{(k-1)!}=\dfrac{(an)!}{(an+2)!}=\dfrac1{(an+1)\times (an+2)}\le \dfrac1{an\times an}

Posté par
MarieLorre : inegalité et factorielle 06-02-17 à 22:46

Merci beaucoup. J'ai bien compris le principe maintenant
Mais pour bien faire il faudrait ensuite faire la démonstation par récurrence non?!

Posté par
verdurinre : inegalité et factorielle 06-02-17 à 23:01

Je ne pense pas qu'une démonstration par récurrence soit utile : on majore un nombre fini de termes.
Mais j'ai passé le capes il y a plus de quarante ans, alors il n'est pas certain que mon avis soit à la mode.

Posté par
verdurinre : inegalité et factorielle 06-02-17 à 23:17

Pour être plus précis, si on me demandait de justifier l'inégalité, j'écrirais

\dfrac{(an)!}{(k-1)!}=\dfrac{1}{(an+1)\dots (k-1)} \\ \\ \phantom{\dfrac{(an)!}{(k-1)!}}=\dfrac1{an+1}\times \dots \times \dfrac1{k-1}

or tous les dénominateurs sont strictement supérieurs à an et il y a k-1-an fractions.

On a donc

\dfrac{(an)!}{(k-1)!}\le \dfrac1{(an)^{k-1-an}}

Mais je ne peux en aucun cas te garantir que cette « démonstration » soit considérée comme valable au capes.
Bien que le corrigé suggère que c'est le cas.

Posté par
MarieLorre : inegalité et factorielle 07-02-17 à 07:28

Merci beaucoup c'est très clair maintenant. J'ai vraiment cherché trop compliqué...


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