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inégalité et factorielles

Posté par
Gotheye 20-09-07 à 19:53

Bonjour a vous , un problème m'a été soumis , je n'ai fais que la premiere question mais je bloque sur la seconde , voici l'énoncé :

\forall k = 1,2,3..., n on a n \le k(n+1-k) \le \frac{(n+1)}{2}^{2}

en déduire pour tout entier naturel n privé de 0 l'inégalité suivante :

n^{n/2} \le n! \le \frac{(n+1)}{2}^{n}

merci beaucoup  a celui qui pourra m'aider

Posté par
Tigweg Correcteurre : inégalité et factorielles 20-09-07 à 20:41

Bonsoir Gotheye,

l'inégalité de gauche est claire si k=1, sinon elle équivaut, en factorisant n, à:

n(k-1)\ge k(k-1), ce qui équivaut bien à n\ge k.

Pour celle de droite, il suffit d'appliquer l'inégalité (a+b)^2\ge 2ab
en choisissant a=n+1-k et b=k.

Distingue ensuite les cas n pair et n impair.

Si n est pair, n=2p, fais varier k de 1 à p dans l'encadrement obtenu précédemment puis multiplie entre eux tous les encadrements, tu t'apercevras qu'au centre on obtient exactement n!.
Je te laisse faire la suite.


Tigweg

Posté par
Gotheyere : inégalité et factorielles 20-09-07 à 21:19

ok je vois plus ou moins le cheminement mais j'ai quelques questions :

-pourquoi ce changement dans les inégalités après avoir factorisé n ?
- et d'ou sort l'inégalité avec les a et b ? ( je ne me rappelle pas l'avoir deja rencontrée )


en tout cas merci pour ta patience

Posté par
Tigweg Correcteurre : inégalité et factorielles 20-09-07 à 21:29

Je t'en prie!

1)n\le k(n+1-k) <=> kn+k(1-k)\ge n <=> n(k-1)\ge k(k-1)

2)Cela résulte tout simplement du fait que pour tous réels a et b on a (a+b)^2-2ab=a^2+b^2+2ab-2ab=a^2+b^2\ge 0.

D'accord?


Tigweg

Posté par
Gotheyere : inégalité et factorielles 20-09-07 à 21:40

mmm  ook  j'ai compris   et comment t'y prend tu pour faire varier k de 1 a p dans l'encadrement ?

Ce sera ma dernière question j'ai un peu de mal en inégalités

Posté par
Tigweg Correcteurre : inégalité et factorielles 20-09-07 à 21:57

L'inégalité étant vraie pour tout k entre 1 et n, c'est en particulier vrai pour k entre 1 et p.

Ensuite, on les multiplie toutes membre à membre.


Tigweg


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