Bonjour,
Que veux-tu dire par formellement ?

algébriquement ...

Bonjour,
En étudiant le signe de e^x-2ln(x) peut-être.

Je ne vois pas bien ce que tu veux dire par algébriquement non plus.
On peut démontrer en deux temps :
Pour x > 0
e^x > x
x > 2ln(x)

Bonjour sanantonio312

Bonjour Sylvieg

Merci Sylvieg pour ta réponse!
Mais comment qualifier cette démonstration si elle n'est pas "algébrique" ?

C'est de l'analyse, c'est à dire qu'on utilise des fonctions.
Ici, on peut utiliser f et g définies sur ]0;+[ par
f(x) = e^x - x
g(x) = x - 2ln(x).

OK ! Merci pour cette précision de langage ...
Quand dit-on "algébrique" ?

Je ne sais pas.

salut

alébrique s'emploie quand tu fais une preuve avec des calculs même formels avec les structures d'ensembles) ... comme ici ...

pour distinguer par exemple quand on géométrie tu fais un raisonnement purement ... "géométrique" du genre :

tu as montré qu'un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés
alors tu en déduit immédiatement que ce triangle est rectangle

Bonjour à tous !
Merci pour vos réponses.
Pour résoudre dans l'équation  e^x=ln(x²) , j'ai étudié la courbe  e^x-ln(x²)=0  qui coupe l'axe des ordonnées dans l'intervalle [-sqrt(e);-1]  . Par approximation numérique j'ai trouvé  la solution unique dans : x=-1.6819...
Comment démontrer que c'est la limite d'une suite x _n+1=-exp(exp(x_n/2)) si x₀=-1 ?

Je ne comprends pas "qui coupe l'axe des ordonnées" :
C'est peut-être l'axe des abscisses que tu voulais écrire ?
Pour l'axe des ordonnées, il suffit de remplacer x par 0.

Ni "la courbe e^x-ln(x²)=0" :
Ce n'est pas une courbe, mais une égalité ou une équation.
Si c'est une équation, elle n'a pas de solution vu ton premier message.

Quant à ta question sur la suite (x_n), merci de la poser plus clairement.

L'idéal serait que tu recopies l'énoncé de l'exercice d'où viennent tes questions.
Du premier mot au dernier, en passant à la ligne assez souvent pour que ce soit agréable à lire.

Oui, beaucoup de coquilles, désolé...
1) c'est effectivement la courbe représentative  de la fonction e^x-ln(x²) qui coupe l'axe des  abscisses au point x solution dans de l'équation  e^x=ln(x²) ...
2)  je cherche à monter que cette  solution est la limite de la suite :
x₀=-1
x_n+1=-exp(exp(x_n/2))

1) Effectivement, l'équation e^x=ln(x²) admet dans une unique solution, qui est négative.
Sa valeur approchée n'est pas -1,68.
On peut noter a cette solution. On a alors a -1,168.

2) Tu cherches quelque chose.
Mais quelles sont les questions posées ?

Par ailleurs, as-tu réussi à traiter ta question du 04-05-25 à 09h47 ?

Décidément, je suis très étourdi en ce moment:
1) la seule racine dans est bien  a-1.1682
2) je cherche à démontrer que c'est la limite de la suite   x_n+1=-exp(exp(x_n)/2)  , mais je ne sais pas comment faire ?

Il faudrait déjà démontrer que la suite a une limite.

Bonjour!
Effectivement...
J'ai réussi à démontrer que  la suite est décroissante et majorée par 1.6487 ; elle est donc bien convergente.
En cherchant sa limite L , je tombe sur l'équation  déjà traitée : e^L=ln(L²) !
Cela explique l'usage de cette suite qui n'était pas évidente à priori...

j'ai oublié le signe  -  de la borne : -1.6487 ....

Bonjour,

Tu devrais écrire ton raisonnement sur le site ... car il y a des soucis.

Tu écris :

"J'ai réussi à démontrer que  la suite est décroissante et majorée par 1.6487 ; elle est donc bien convergente. "

Une suite décroissante et majorée ne prouve rien sur tout sur la convergence.

Et la suite en question a pour limite -1,168... et pas ce que tu écris

Voici ma démo en pdf:



_{* Modération > Ficher pdf effacé car non autorisé. Voir la F.A.Q. du forum *}

...

Rebonjour,

Comme déjà dit :

Une suite décroissante et majorée ne prouve rien du tout sur la convergence.

Si  une suite est DECROISSANTE et MINOREE ... alors elle converge.

ou bien :

Si  une suite est CROISSANTE et MAJOREE ... alors elle converge.

... mais on ne peut rien dire sur la convergence pour une suite décroissante et majorée.

La suite n'est pas monotone.
Par ailleurs, si elle converge, ce n'est pas vers -1,168 ou -1,1682.
C'est vers un réel a dont une valeur approchée est -1,1682.

Bonsoir!
Maintenant, pour trouver les racines  de l'équation  e^x=ln(x²)  dans , comment faut-il procéder ?

Bonjour!
En me plaçant dans la détermination principale du logarithme complexe et en posant x=re^iθ avec r>0, j'obtiens le système suivant:
e^{(r cos ⁡θ)} cos⁡(r⁡ sin⁡ θ )=2 ln⁡ r
e^{(r cos ⁡θ)} sin⁡(r⁡ sin ⁡θ )=2θ
Je ne sais pas comment l'aborder ?

tu devrais peut-être commencer par travailler dans

une remarque :

si est une suite (définie par récurrence à l'aide d'une fonction f) telle qu'elle converge vers un réel X tel que f(X) = 0

alors la suite définie par converge vers le réel X

carpédien: merci pour ta réponse! Mais je ne vois pas où tu veux en venir avec la remarque que tu indiques ?

si   alors on pose

et on étudie la suite   et  

on montre qu'elle converge

et si elle converge vers X alors

Bonjour à tous,

mikel83, que ce soit ici ou ailleurs, on n'apprécie pas trop ces demandes croisées sur différents sites...qui plus est sans le dire

Essaie d'éviter...

carpediem Bonjour!
Tu dis "et on étudie la suite x = x₀  et  x_n+1 = g(x_n)"
Mais quelle est la valeur de x₀ dans ce cas ?