Niveau autre

inégalité pour ce soir !

Posté par hanane (invité) 14-11-05 à 23:23

salut , je vois pas comment démontrer cette inégalité :

n^(-x) - de n à n+1 de t^(-x) dt =< n^(-x) + (n+1)^(-x) =< 1/n(n+1)
j'ai vraiment besoin de cette inégalité pour ce soir , merci d'avance

Posté par re : inégalité pour ce soir ! 15-11-05 à 01:41

Bonsoir hanane;
je crois que c'est plutot $3$\fbox{\frac{1}{n^x}-\int_{n}^{n+1}\frac{dt}{t^x}\le\frac{1}{n^x}-\frac{1}{(n+1)^x}}$ et que $3$\fbox{x\ge0}$
si c'est le cas tu peux remarquer que la fonction $3$\fbox{{:}]0,+\infty[\to\mathbb{R}\\t\to t^{-x}=\frac{1}{t^x}}$ est décroissante et donc que:
$3$\fbox{(\forall n\in{\mathbb{N}}^*)(\forall x\in[n,n+1])\hspace{5}\frac{1}{(n+1)^x}\le\frac{1}{t^x}\le\frac{1}{n^x}}$ et par intégration que:
$3$\fbox{ (\forall n\in{\mathbb{N}}^*)\hspace{5}\frac{1}{(n+1)^x}\le\int_{n}^{n+1}\frac{dt}{t^x}\le\frac{1}{n^x}}$ et donc que $4$\blue\fbox{(\forall n\in{\mathbb{N}}^*)\hspace{5}0\le\frac{1}{n^x}-\int_{n}^{n+1}\frac{dt}{t^x}\le\frac{1}{n^x}-\frac{1}{(n+1)^x}}$
Quand à l'inégalité $3$\fbox{\frac{1}{n^x}-\frac{1}{(n+1)^x}\le\frac{1}{n(n+1)}}$ elle nécéssite que $3$\fbox{x\ge1}$ (vu que le terme de gauche est équivalent à $\frac{x}{n^{x+1}}$ et celui de droite à $\frac{1}{n^2}$ ) et elle n'est alors vraie qu'à partir d'un certain rang $n_0(x)$ qu'on peut calculer.

Sauf erreurs bien entendu

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