Bonjour.
Tu sais que ||x + y|| ||x|| + ||y||.
Pose alors z = x + y et y = z - x, cela te donne
||z|| ||x|| + ||z - x||.
Cordialement RR.

Personnellement , je m'en souviens ainsi:

A = (A + B) - B

donc N(A) N(A+B) + N(B)

donc         N(A)- N(B) N(A+B)

de même  N(B)- N(A) N(A+B) par symétrie de A et B

comme | N(A)- N(B)| est le Sup des deux termes de gauche, tous les deux inférieurs à N(A+B), on en déduit que |N(A)- N(B)| N(A+B).

J'aime bien cette démonstration parce qu'elle est symétrique, et qu'on utilise cette définition de la valeur absolue.


Ce genre de raisonnement se retrouve lorsqu'on écrit une fonction f comme somme de f+ et f- (parties positive et négative),
avec (f+) + (f-) = f et (f+) - (f-) = |f|.