Salut à tous !
Je me demande s'il n'y a pas un os dans ce qui suit :
Quelques notations :
.. = ]0 , +[3
.. = { (x,y,z) | x + y + z = 1 }
..T le triangle , équilatéral , enveloppe convexe des points (1 , 0 , 0) , (-1/2 , 3/2 , 0) et (-1/2 , -3/2 , 0)
.. une application affine qui envoie T sur et (1 , 0 , 0) sur (1 ,1 , 1)
Le problème :
..On se donne a ]0 , 1[ (par exemple 1/3) et on définit f : , (x,y,z) x/(xa + ya) + y/(ya + za) + z/(za + xa) et on veut déterminer Inf(f)
L'application t ta de ]0 , +[ vers ]0 , +[ est strictement concave .
Il en est de même pour (x,y,z) xa + ya et donc (x,y,z) 1/(xa + ya est strictement convexe .
Le produit de 2 strictement convexes > 0 étant aussi strictement convexe (x,y,z) x/(xa + ya) est encore strictement convexe (sur évidemment ).
De là , la stricte convexité de f et aussi celle de h := f o .
On a donc : Inf(f) = InfT(h) = h(0,0,0) = f(1,1,1) = 3/2