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Posté par
etniopalre : Inequation 20-07-17 à 18:59

" D(a,b,c) défini par la relation a^3+b^3+c^3=3 "  n'a pas de sens  .

Si tu veux dire


Jr ne comprends pas  ce bout de phrase :
"  le domaine triangulaire équilatéral D(a,b,c) défini par la relation a^3+b^3+c^3=3 "  
  
Veux-tu  dire que D = { (a,b,c)   ]0 , +[3 | a3 + b3 + c3 = 3 }   est  un triangle équilatéral  ?

Que c'est un  ouvert connexe  ?

Posté par
DOMOREAre : Inequation 22-07-17 à 10:51

bonjour  etniopal,
En posant a'=a^3,b'=b^3,c'=c^3 , j'interprète l'égalité a'+b'+c'=3 de la manière suivante:
en posant M un point  intérieur éventuellement sur les bords mais non  aux sommets, d'un triangle équilatéral  T  (ABC)de  hauteur 3 et d'isobarycentre G a',b',c' sont alors respectivement  les distances de M aux 3 côtés du triangle
On définit alors g: T-{A,B,C}: \longrightarrow  \mathbb{R}^{+*} ;   M \longrightarrow \frac{a'}{a'^{\frac{1}{3}}+b'^{\frac{1}{3}}}+\frac{c'}{c'^{\frac{1}{3}}+a'^{\frac{1}{3}}}+\frac{b'}{b'^{\frac{1}{3}}+c'^{\frac{1}{3}}} cette fonction est convexe sur T. Si un point M(a',b',c') distinct de G(1,1,1) est tel que g(M)<\frac{3}{2} alors on aurait la même propriété pour M'(b',c',a') et pour M"(c',a',b')
Or il est clair pour des raisons de permutation cyclique
M'=R(G,\frac{2\pi}{3})(M) ,
  M''=R(G,\frac{2\pi}{3})(M')  
que MM'M" est un triangle équilatéral de même isobarycentre G
Comme g(G)=\frac{3}{2}  on obtient une contradiction avec  l'hypothèse de convexité.

Posté par
jb2017re : Inequation 22-07-17 à 15:45

Bonjour @DOMOREA
Je ne comprends pas la fin de ton raisonnement mais ce n'est pas grave, l'essentiel est avant. En effet, tu affirmes que la fonction g est convexe sur T mais je ne vois pas les arguments qui permettent de le dire.
Par contre je crois que c'est vrai. De mon point de vue si l'affirmation g est convexe est bien justifiée la démonstration est finie; mais je crains que cela soit aussi difficile  à montrer que l'inégalité de départ.

Posté par
DOMOREAre : Inequation 22-07-17 à 15:58

bonjour jb2017,
Ce qui suit ne te convainc pas ?
x\longrightarrow  x^{\frac{1}{3}} est concave,idem pour y\longrightarrow  y^{\frac{1}{3}} idem pour la somme, donc l'inverse est convexe
x\longrightarrow  x étant convexe , le produit avec la précédente est convexe, enfin la somme de fonctions convexes positives est convexe.

Posté par
DOMOREAre : Inequation 22-07-17 à 16:05

re,
La fin  que tu ne semble pas saisir est importante car l'existence d'un seul point d'image inférieur à 3/2  ne suffit pas,
c'est pour cette raison que je construis par permutation circulaire deux autres points de même image et positionnés de telle manière que G(1,1,1)  soit à l'intérieur du triangle formé par les 3 points

Posté par
jb2017re : Inequation 22-07-17 à 16:06

C'est là que je pense qu'il faut faire attention.
Comme par exemple  dire  que la somme de 2 fonctions convexes est convexe.
C'est vrai lorsque on les considère définies sur un même domaine.
i.e  si f est convexe sur T  et g est convexe sur T implique f+g convexe sur T. D'accord  
mais ici c'est un peu plus que cela.
D'autant plus que les 3 variables sont liées  (le triangle est 2-dimensionnel)

Posté par
jb2017re : Inequation 22-07-17 à 16:17

Avec ton raisonnement je pense que pour toi la fonction définie sur T
par M-> a'/(a^(1/3)+b'^(1/3)) est convexe. Mais ce n'est pas le cas.

En effet,  si on prend M_1={a_1,b_1,1-a_1_b_1}={ 1/2,1/2,0}

et  M_2={1/2,1/3,1/6}    en posant
h(t)= g(t M_1+(1-t) M_2) on peut voir avec un logiciel de calcul que h''(t)<0 sut [0,1].


  

Posté par
jb2017re : Inequation 22-07-17 à 16:19

Les messages sont simultanés. C'est surtout la convexité qui me pose un problème.

Posté par
DOMOREAre : Inequation 22-07-17 à 16:30

@jb2017
Ce que tu dis , je l'entend parfaitement car je me suis posé la même question.
En effet a',b' et c' sont liés par une relation
  mais si on regarde les 2 variables a' et b' définissant le point M  et la fonction g(a',b')=\frac{a'}{a'^{\frac{1}{3}}+b'^{\frac{1}{3}}} on a la convexité dans le domaine T , mais en même temps ce point M peut être vu comme dépendant  de (a',c') ou de (b',c')  et dans ce cas on  travaille sur les 2 autres  termes de la somme donc on reste bien sur le même domaine, la convexité reste quand on change de point de vu ou de repère si tu préfères.

Posté par
jb2017re : Inequation 22-07-17 à 16:39

Non justement on n'a pas la convexité. Regarde l'exemple que j'ai donné.
Les calculs sont long mais numériquement tu verras que h''(t)<=0 sur [0,1]. La fonction n'est pas convexe.

Posté par
DOMOREAre : Inequation 22-07-17 à 17:09

re,
tu as mis 0 en 3ème coordonnée de M1, j'imagine que c'est une erreur d'écriture

Posté par
DOMOREAre : Inequation 22-07-17 à 17:45

re,
je ne mets pas en doute tes calculs, mais j'avoue que le résultat que tu affirmes me laisse perplexe
J'ai calculé à la maing(tM_1+(1-t)M_2  avec M1 (1/2,1/2,2) et M2(1/2,1/3,1/6)
j'ai obtenu Les 3 termes de la forme \frac{\alpha t+\beta}{(\alpha t+\beta)^{1/3}+(\gamma t+\eta)^{1/3}} avec des fonctions affines croissantes voire constante pour l'une d'entre elles sur l'intervalle [0;1]. je n'ai pas calculé g''(t) mais je ne vois pas comment elles ne sont pas convexes

Posté par
jb2017re : Inequation 22-07-17 à 18:12

Oui c'est une erreur a' et b' étant choisis on complète de façon à avoir 3.
A la main c'est long. Ici on veut montrer un contre-exemple.   à la machine c'est quelques lignes et on trouve rapidement  un contrexemple en traçant h''(t)

Posté par
DOMOREAre : Inequation 22-07-17 à 18:59

re
Pourrais-tu me fournir les 2 points qui te donnent une dérivée seconde négative puisque tu dis que c'est facile de trouver un contre exemple?
merci.
  car je te signale que pour les 2 points que tu as fournis au début avec les corrections( M1(1/2,1/2,2)=M2(1/2,1/3,13/6) j'obtiens 3 fonctions convexes donc une somme convexe
Personnellement je n'utilise pas les machines quand un simple raisonnement suffit
Pour tes exemples au lieu de faire calculer g''(t)  observe les graphes des 3 fonctions sur [0,1]  en prenant les points que tu veux, avec une bonne  fenetre  la convexité est visible

En conclusion je prend le risque calculé de dire que la convexité ne fait pas de doute pour moi

Posté par
Razesre : Inequation 22-07-17 à 21:35

Bonjour,

Utilisons l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

\left|\sum _{{i=1}}^{n}x_{{i}}y_{{i}}\right|\leqslant \left(\sum _{{i=1}}^{n}x_{{i}}^{{2}}\right)^{{1/2}}\left(\sum _{{i=1}}^{n}y_{{i}}^{{2}}\right)^{{1/2}}.

Nous avons :

\left (a^{\frac{3}{2}}+ b^{\frac{3}{2}}+ c^{\frac{3}{2}}\right )\leqslant \left ( \sqrt{a+b}^2 +\sqrt{b+c}^2+\sqrt{c+a}^2\right )^{\frac{1}{2}}\left (\sqrt{\dfrac{a^{3}}{{a+b}}}^2+ \sqrt{\dfrac{b^{3}}{{b+c}}}^2+\sqrt{\dfrac{c^{3}}{{c+a}}}^2\right )^{\frac{1}{2}}

Donc:
\left (a^{\frac{3}{2}}+ b^{\frac{3}{2}}+ c^{\frac{3}{2}}\right )^2\leqslant 2\left ( a+b+c\right )\left ( \dfrac{a^{3}}{{a+b}}+ \dfrac{b^{3}}{{b+c}}+\dfrac{c^{3}}{{c+a}}\right )

J'avais déjà démontré que \dfrac{1}{3}\leqslant\dfrac{1}{a+b+c} ; voir  16-07-17 à 13:45

D'où:
\dfrac{1}{6}\left (a^{\frac{3}{2}}+ b^{\frac{3}{2}}+ c^{\frac{3}{2}}\right )^2\leqslant \left ( \dfrac{a^{3}}{{a+b}}+ \dfrac{b^{3}}{{b+c}}+\dfrac{c^{3}}{{c+a}}\right )

La méthode du Multiplicateur de Lagrange permet de minorer facilement la dernière expression:

f(x,y,z)=x^{\frac{3}{2}}+ y^{\frac{3}{2}}+ z^{\frac{3}{2}};  g(x,y,z)=x^{3}+ y^{3}+ z^{3} -3
J'abrège, on trouve: \sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}=\dfrac{1}{2\lambda }, injectons dans l'équation condition, on trouvera a=b=c=1; \lambda=\frac{1}{2}

Alors: \left (a^{\frac{3}{2}}+ b^{\frac{3}{2}}+ c^{\frac{3}{2}}\right )_{min}=3


Finalement: \dfrac{3}{2}=\dfrac{3^2}{6}\leqslant \left ( \dfrac{a^{3}}{{a+b}}+ \dfrac{b^{3}}{{b+c}}+\dfrac{c^{3}}{{c+a}}\right )

CQFD

Posté par
jb2017re : Inequation 22-07-17 à 22:40

@domorea
Je te dis que la fonction (a',b',c')-->'/(a'(1 /3)++b'(1/3))  n'est pas convexe sur T. Tes arguments ne sont pas corrects à mon avis.
Ton idée n'est pas mauvaise puisque je pense comme toi que la fonction f est convexe.
Mais la fonction a'/(a'(1 /3)+b'(1/3)) ne l'est pas.  Ce qui confirme que ton raisonnement n'est pas correct. Un point c'est tout.

Pour le montrer je te donne un exemple que j'ai cherché mais les calculs sont longs.

Mon travail n'est pas de faire un calcul à la main pour te faire plaisir. Je te dis que pour le faire j'ai utilisé un logiciel de calcul formel donne le résultat rapidement. Que puis-je dire de plus?

Posté par
jb2017re : Inequation 22-07-17 à 22:57

Bonsoir
@Rasez   je suis un peu scotché. En effet tu nous donnes ici une solution simple (du genre à laquelle je m'attendais ) mais que personne n'a su trouver depuis quelques jours.
Ta solution me semble correcte. J'aimerais que quelqu'un relise pour confirmer ta démo.  

Je te propose de la mettre sur math.net là où je l'ai trouvée.

Posté par
Razesre : Inequation 22-07-17 à 23:01

jb2017 @ 22-07-2017 à 22:40

@domorea
Je te dis que la fonction (a',b',c')-->'/(a'(1 /3)++b'(1/3))  n'est pas convexe sur T. Tes arguments ne sont pas corrects à mon avis.
Ton idée n'est pas mauvaise puisque je pense comme toi que la fonction f est convexe.
Mais la fonction a'/(a'(1 /3)+b'(1/3)) ne l'est pas.  Ce qui confirme que ton raisonnement n'est pas correct. Un point c'est tout.

Pour le montrer je te donne un exemple que j'ai cherché mais les calculs sont longs.

Mon travail n'est pas de faire un calcul à la main pour te faire plaisir. Je te dis que pour le faire j'ai utilisé un logiciel de calcul formel donne le résultat rapidement. Que puis-je dire de plus?
J'ai déjà testé cela et aussi l'inégalité de Jensen sans succès.

Bref. Je vous ai proposé une solution à 22-07-17 à 21:35, j'espère qu'il n y a  pas de coquille cette fois.

Posté par
Razesre : Inequation 22-07-17 à 23:06

jb2017 @ 22-07-2017 à 22:57

Bonsoir
@Rasez   je suis un peu scotché. En effet tu nous donnes ici une solution simple (du genre à laquelle je m'attendais ) mais que personne n'a su trouver depuis quelques jours.
Ta solution me semble correcte. J'aimerais que quelqu'un relise pour confirmer ta démo.  

Je te propose de la mettre sur math.net là où je l'ai trouvée.

Effectivement, c'était un vrai casse tête, tu as vu,  j'ai testé beaucoup de méthodes. Enfin

C'est quoi le lien du site?

Posté par
jb2017re : Inequation 22-07-17 à 23:11


Voici le lien. Si tu cherches sur internet tu verras que le problème vient d'un cite étranger
(américain je crois) où personne n'a apporté de solution.

Posté par
carpediemre : Inequation 22-07-17 à 23:21

Razes :

tout le pb est de trouver la bonne décomposition ... pour faire apparaître ce p... de 2 (ou son inverse)


je pense même qu'on peut se passer des multiplicateurs de Lagrange ...

mais l'obtention de la réponse suffit à justifier leur utilisation ...

encore

Posté par
jb2017re : Inequation 22-07-17 à 23:35

@merci Carpediem.
L'utilisation des multiplicateurs n'est pas un problème en soi.  En fait il l'utilise là où les calculs sont aisés donc à bon escient.
Par contre l'utilisation  des multiplicateurs sur le problème initial donne des calculs impossibles; de même comme veut le faire @domorea montrer la convexité de la fonction g sur le triangle  est particulièrement difficile.
En fait toute son astuce (de @Razes) se résume en l'application judicieuse de l'inégalité de Cauchy-Schwarz  pour remplacer son inégalité non symétrique par des inégalités symétriques où là il ne s'embête plus à juste titre Lagrange fonctionne bien.





Posté par
Razesre : Inequation 23-07-17 à 00:09

@merci Carpediem, et merci à tous,

Sincèrement, c'est un exercice qui me semblait très facile et dès que j'ai une idée qui me paraissait bonne, j'ai dû déchanter rapidement,
Grace à cet exercice, on  a eu un bouillonnement et confrontation d'idées, bref, c'était très intéressant.
Maintenant, il  faut que je m'active pour trouver un emploi, souhaitez moi bonne chance.

Posté par
Alexiquere : Inequation 23-07-17 à 00:29

Citation :
Alors: \left (a^{\frac{3}{2}}+ b^{\frac{3}{2}}+ c^{\frac{3}{2}}\right )_{min}=3

bof pour a=b=\sqrt[3]{\frac32},c=0 puisque cela donne \sqrt{6} \approx 2,44. L'attention des gens se relâchent j'ai l'impression

Posté par
jb2017re : Inequation 23-07-17 à 09:10

Bonjour
@Alexique tu as raison. Le max c'est 3 et le min c'est \sqrt{3}
Donc sa première estimation serait trop forte.  

Posté par
carpediemre : Inequation 24-07-17 à 00:07

je félicite quand même Razes parce que c'est la démarche la plus pertinente ... même si Alexique semble dire qu'il y a erreur ...

enfin je n'ai pas regardé en détail ...

moi aussi j'ai eu beau trituré dans tous les sens pour rendre symétrique le truc je n'ai rien trouvé ...

à voir ...

Posté par
carpediemre : Inequation 24-07-17 à 00:12

et je te souhaite bonne chance pour la suite ...

si ce n'est pas indiscret tu en es où ?

Posté par
DOMOREAre : Inequation 02-08-17 à 19:28

bonjour à tous,
j'ai vu  que le problème n'avait pas été résolu et donc je me suis entêté.
J'expose ici quelques éléments qui peuvent être utiles;   un élément me manque pour  fournir ici une preuve,
Je garde l'interprétation déjà évoquée  dans mes interventions.
J'interprète la relation a^3+b^3+c^3=3 comme M(a^3,b^3,c^3) point intérieur à un triangle équilatéral ABC d'équibarycentre  G, de hauteur 3  et dont les distances à BC, CA, AB sont respectivement a^3, b^3, c^3
Je me contente ce qui n'infirme pas  la preuve  de me limiter au domaine  triangulaire [ABG]car les 2 autres triangles  s'obtiennent par permutation circulaire de (a,b,c).

Pour démontrer que f(a,b,c) est de minimum \frac{3}{2}  , il suffit de démontrer que si D est un point quelconque de [AB] et M un point variable de [DG], la fonction de variable M est convexe et  de dérivée à gauche  nulle en G. donc décroissante.
En effet comme me l'a fait remarquer jb2017 la surface elle même n'est pas convexe mais elle me semble  convexe étoilée de centre G (tous les chemins  rectilignes partant des bords et joignant G dans le domaines  dessinent sur la surface une courbe convexe, décroissante )
Pour utiliser l'expression \vec{BM}=(1-t)\vec{BD}+t\vec{BG} il me faut définir les coordonnées des points concernés dans un repère rectangulaire  voire orthonormé. d'origine B
la demi-droite [BC) est le support de l'axe des X,  [BY) est directement orthogonal à [BX) , ainsi  ABC est dans la zone X\ge 0,Y\ge 0

Dans ce repère orthonormé  on a G(\sqrt{3},1)   D(\frac{a^3}{\sqrt{3}},a^3)
les coordonnées rectangulaires de M sont donc t(\sqrt{3}-\frac{a^3}{\sqrt{3}})+\frac{a^3}{\sqrt{3}},t(1-a^3)+a^3
à partir de ces coordonnées je retrouve les coordonnées triangulaires de  M.
M(t(1-a^3)+a^3, t(a^3-2)+3-a^3,t)=(x^3,y^3,z^3)
on a donc une fonction de t , t\in[0,1]dépendante de  D(a^3,b^3,c^3) qui en fait ne dépend que du paramètre  a^3:
f_{a^3}(t)=g(t)+h(t)+k(t)

g(t)=\frac{t(1-a^3)+a^3}{(t(1-a^3)+a^3)^{\frac{1}{3}}+(t(a^3-2)+3-a^3)^{\frac{1}{3}}}
h(t)=\frac{t(a^3-2)+3-a^3)}{(t(a^3-2)+3-a^3)^{\frac{1}{3}}+t)^{\frac{1}{3}}}
k(t)=\frac{t}{t^{\frac{1}{3}}+(t(1-a^3)+a^3)^{\frac{1}{3}}}
Il me semble que la somme est convexe. un visuel le montre mais la preuve me résiste
et f'(1)=0 on obtient
g'(1)=\frac{7}{3}-2a^3
h'(1)=\frac{5}{3}a^3-\frac{11}{3}
k'(1)=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}a^3

Posté par
DOMOREAre : Inequation 04-08-17 à 15:21

bonjour,
Errata les g'(1),h'(1),k'(1) sont à diviser par 4 , cela ne change rien à la nullité de la somme (dénominateur commun  oublié)

je complète mes recherches
La démonstration de la convexité de g(t)+h(t)+k(t) est très complexe , si bien que je passe. par un détour.
Si on arrive à démontrer que g et h sont convexes ce qui me semble vrai et que k est concave, alors la démonstration est terminée.
en effet alors g+ h est convexe , somme de fonctions convexes positives
les dérivées respectives de f+g en t=1 et de k pour t=1 sont opposées (ce qui est normal puisque (f+g)'(1) +k'(1)=0  prouvé!
(f+g)'(1)=-\frac{1}{12}(a^3+4)
f(1)=g(1)=k(1)=0.5
(f+g)(0)=\frac{a^{\frac{2}{3}}}{2}    k(0)=0
Quand t varie de 1 à 0, g(t)+h(t) croît plus vite que k(t) ne décroit ( énoncé qualitatif mais facile à démontrer)
d'où f(t)>1,5 pour t dans [0,1[

Un bug de latex a fait disparaître l'expression de g(t) dans le post précédent
je la recopie g(t)=\frac{t(1-a^3)+a^3}{(t(1-a^3)+a^3)^{\frac{1}{3}}+(t(a^3-2)+3-a^3)^{\frac{1}{3}}}

Posté par
DOMOREAre : Inequation 04-08-17 à 15:31

re ,
il faut lire (g+h)'(1) et (g+h)(0) respectivement au lieu de (f+g)'(1) et de (f+g)(0)

Posté par
DOMOREAre : Inequation 04-08-17 à 17:25

re
une autre coquille  (g+h)(0)=2^{\frac{1}{3}} heureusement car  sinon
g+h n'aurait pas été décroissante.

Posté par
DOMOREAre : Inequation 04-08-17 à 17:47

re
décidement cela va mal ce Pb me fatigue
(g+h)(0)=\frac{a^3}{a+(3-a^3)^{\frac{1}{3}}} +(3-a^3)^{\frac{2}{3}}>1, \forall a^3\in[0,3]

Posté par
Razesre : Inequation 04-08-17 à 23:55

Bonsoir,

@DOMOREA,
Ne te fatigue inutilement, j'ai proposé une résolution qui me semble bonne.

Pour ce qui est du message d'Alexique

Alexique @ 23-07-2017 à 00:29

Citation :
Alors: \left (a^{\frac{3}{2}}+ b^{\frac{3}{2}}+ c^{\frac{3}{2}}\right )_{min}=3

bof pour a=b=\sqrt[3]{\frac32},c=0 puisque cela donne \sqrt{6} \approx 2,44. L'attention des gens se relâchent j'ai l'impression

L'attention des gens se relâchent j'ai l'impression (Ça c'est de moi) car Alexique a oublié une partie importante de l'énoncé a,b,c>0, donc c ne peut pas être nul.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Inequation 05-08-17 à 08:07

Bonjour,
L'attention des gens pour l'orthographe se relâche j'ai l'impression
Plus sérieusement, en pensant à une petite continuité :

a =\sqrt[3]{\frac32} b =\sqrt[3]{\frac32-0,001} c =\sqrt[3]{0,001} donne a^{\frac{3}{2}}+ b^{\frac{3}{2}}+ c^{\frac{3}{2}} dans les 2,48

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Inequation 05-08-17 à 10:13

Pire :
a = b = 0,1 c =\sqrt[3]{3-0,002} donne a^{\frac{3}{2}}+ b^{\frac{3}{2}}+ c^{\frac{3}{2}} dans les 1,8

Par ailleurs, pour étudier a^{\frac{3}{2}}+ b^{\frac{3}{2}}+ c^{\frac{3}{2}} avec la condition a3+b3+c3 = 3 ,
on peut se ramener à étudier x+y+z avec la condition x2+y2+z2 = 3 .

Il suffit de poser x = a^{\frac{3}{2}} y = b^{\frac{3}{2}} z = c^{\frac{3}{2}} .
Il y a alors une interprétation géométrique avec la sphère de centre O et de rayon 3 .
Le maximum de x+y+z sur la sphère est 3 .

Posté par
Alexiquere : Inequation 05-08-17 à 15:41

@Sylvieg : Effectivement, on peut commencer par résoudre les problèmes d'orthographe qui me semblent plus accessibles

@Razes : Les strictes ne changent pas grand chose si ce n'est éventuellement que les bornes sup/inf ne sont pas forcément atteintes donc pas forcément des min/max mais Sylvieg a tout dit. Les multiplicateurs disent que 3 est un extremum mais c'est bien un maximum et pas un minimum. Par ailleurs, \dfrac{(a^{\frac32}+b^{\frac32}+c^{\frac32})^2}{2(a+b+c)} \geq \frac32 est faux ce qui montre que ta première estimation par Cauchy-Schwarz est déjà trop grossière (ce qui est dommage, ça rendait en effet le problème symétrique), ce qu'a noté jb. On t'a félicité un peu trop vite à tort et tu es naturellement déçu et frustré mais ne laisse pas l'entêtement l'emporter sur la raison. C'est peut-être ce même entêtement ou les idées qui en découlent qui permettront peut-être à quelqu'un de trouver un jour la solution.
C'est un problème d'une difficulté digne des OIM s'il n'a pas déjà été posé ce qui ne m'étonnerait pas.

Posté par
Dattier7re : Inequation 05-08-17 à 16:57

Salut,

h_a(x)=\frac{x^3}{x+a} est strictement croissante pour x, a strictement positif.

Donc on note \min(a,b,c)=a par exemple
Alors :
E=h_b(a)+h_c(b)+h_a(c)\geq h_b(a)+h_c(a)+h_a(a)=1/2\frac {{a}^{2}\left (3ca+5{a}^{2}+3ba+bc \right )}{\left (b+a\right )\left (c+a\right )}=1/2 \frac{bc}{bc}\frac{1+3a/c+5a^2/(bc)+3a/c}{(1+a/b)(1+a/c)}

Donc
E\leq 1/2 \frac{1+3a/c+5a^2/(bc)+3a/c}{(1+a/b)(1+a/c)}

avec a=min(a,b,c).

Ce qui améliore d'un pouillème le résultat de Zyg.

Posté par
Dattier7re : Inequation 05-08-17 à 17:16

on prend a,b tel que a+b=max(a+c,c+b,a+b)\leq

Alors E\geq 3/(a+c)

Posté par
Dattier7re : Inequation 05-08-17 à 17:21

Je voulais écrire :

Alors E\geq \frac{3}{a+b} \geq \frac{3}{2}
car a+b \leq 2 quand a^3+b^3=3 sauf erreur.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Inequation 06-08-17 à 08:15

Bon dimanche à tous,
@Razes

Citation :
Grace à cet exercice, on a eu un bouillonnement et confrontation d'idées, bref, c'était très intéressant.
Oui pour le bouillonnement et confrontation d'idées ; mais aussi la clarté et la précision de tes messages qui m'ont motivée pour replonger dans toutes ces inégalités aux noms quasi poétiques.

Citation :
Maintenant, il faut que je m'active pour trouver un emploi, souhaitez moi bonne chance.
Bonne chance donc ; ta ténacité et les qualités de présentation de tes écrits sont de sacrés atouts !

Posté par
alainpaulre : Inequation 06-08-17 à 09:22

Bon dimanche,

YES,cet exercice est intéressant et frustrant à la fois puisque ne n'avons pas
de solution.

La somme à minimiser peut-être représentée comme une fonction  f(a,b) dans
un cube  de côté 0,\sqrt[3](3)


Alain

Posté par
alainpaulre : Inequation 06-08-17 à 10:01

Bon,

Lire carré.

Alain

Posté par
jb2017re : Inequation 06-08-17 à 10:05

Bonjour à tous.
Je suis désolé d'avoir posé un tel exercice mais malgré tout je vois que cela a intéressé beaucoup de personnes et c'est bon signe. C'est vrai que c'est un peu frustrant  mais même si on n'a pas trouvé la solution on apprend un peu en voulant trouver.
Je tiens à faire la remarque que par Cauchy-Schwarz (ou Jensen ou autre) l'inégalité suivante (sous la contrainte a^3+b^3+c^3=3)
a^3(a+b) +b^3(b+c)+c^3(a+c) \leq 6 implique l'inégalité
l'inégalité cherchée (de départ) i.e
a^3/(a+b) +b^3/(b+c)+c^3/(a+c) \geq 3/2.
Mais elle est tout aussi difficile à établir.

Par ailleurs on a
a^3b  +b^3c+c^3a \leq 3  (encore faut-il le prouver mais c'est peut être plus facile à démontrer, je pense le poser comme nouveau sujet mais il faut le considérer plutôt comme une énigme )
Mais par contre
a^4+b^4+c^4 n'est pas majorer par 3.  


  

Posté par
etniopalre : Inequation 07-08-17 à 11:11

Salut à tous !

Je me demande s'il n'y a pas un os dans ce qui suit :

Quelques notations :
.. = ]0 , +[3
.. = { (x,y,z) | x + y + z = 1 }
..T le triangle ,  équilatéral , enveloppe convexe des points (1 , 0 , 0) , (-1/2 , 3/2 , 0) et (-1/2 , -3/2 , 0)
..   une application affine qui envoie T sur et (1 , 0 , 0) sur (1 ,1 , 1)

Le problème :
..On se donne  a ]0 , 1[  (par exemple 1/3)  et on définit f : , (x,y,z) x/(xa + ya) + y/(ya + za)  + z/(za + xa)  et on veut déterminer Inf(f)  

   L'application t   ta de ]0 , +[ vers  ]0 , +[   est strictement concave .
Il en est de même pour (x,y,z) xa + ya et donc (x,y,z)   1/(xa + ya  est  strictement convexe .
Le produit de 2  strictement convexes > 0 étant aussi strictement  convexe  (x,y,z) x/(xa + ya)  est encore  strictement  convexe (sur évidemment ).

De là , la stricte  convexité de f et aussi  celle de h := f o .

On a donc  : Inf(f) = InfT(h) = h(0,0,0) = f(1,1,1) = 3/2

Posté par
etniopalre : Inequation 07-08-17 à 11:23

= { (x,y,z)   | x + y + z = 3 }

Posté par
jb2017re : Inequation 07-08-17 à 11:29

Bonjour
@etnopial
Je vois au moins une correction à apporter. En effet tu prends a=1/3 pour juste après dire que l'application (x,y) fait correspondre  x^3+y^3 est convexe.
Mais surement tu voulais dire x^(1/3)+y^(1/3)  , oui je pense.

Posté par
etniopalre : Inequation 07-08-17 à 11:29

C'est mon dernier donc qui n'est pas justifié !

Posté par
etniopalre : Inequation 07-08-17 à 11:35

A aucun moment je n'ai parlé de  
"  (x,y) fait correspondre  x^3+y^3  "

Posté par
jb2017re : Inequation 07-08-17 à 11:39

Rebonjour
@etnopial L'application affine \varphi envoie T sur \Delta qui est aussi un triangle.
A mon avis le point (1,0,0) qui est un sommet ne peut être envoyé que sur un sommet de
\Delta et donc pas sur  G.

Posté par
jb2017re : Inequation 07-08-17 à 11:41

Oui tu as raison je n'ai pas bien vu le a. Mais pour l'application affine \phi?

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