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Inéquation problématique

Posté par Eos (invité) 01-10-05 à 14:53

Bonjour tout le monde,

Voilà, je me heurte à unr grande difficulté sur mon devoir de maths, une question d'un problème que je n'arrive pas à faire, la seule question qu'il me reste!

On considère deux suites réelle (un) définie par:

u_0 = 1 et u_n=\prod_{k=1}^n \frac{(2k+1)}{2k} pour n\ge1

On sait que u_n = \frac{(2n+1)!}{2^{2n}(n!)^2

De plus, on sait que pour tout n supérieur ou égal à 1
1\le\frac{\pi(u_n)^2}{2(2n+1)}\le\frac{2n+1}{2n}

On a prouvé avant que u_n était équivalant à \frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{\pi}} quand n tend vers + \infty (dsl, je n'ai pas trouvé le signe équivalent pour les limites

Il faut en déduire que 0\le u_n - \frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{\pi}} \le \frac{u_n}{2n+1}

Voilà, et j'ai bien essayé de passer les u_n dans tous les sens, pour en isoler un, puis soustraire etc ... mais mes efforts sont réstés vains.

Donc si quelqu'un pouvait me mettre sur la voie ... car là je désespère!!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Inéquation problématique 01-10-05 à 16:46

Bonjour Eos;
Moi je vois qu'il n'y a rien à montrer puisque la double inégalité demandée 2$\fbox{0\le u_n-\frac{2sqrt{n}}{sqrt\pi}\le\frac{u_n}{2n+1}} est équivalente à 2$\fbox{\frac{2sqrt{n}}{sqrt\pi}\le u_n\le\frac{2n+1}{sqrt{n\pi}}}
et la double inégalité dont on dispose 2$\fbox{1\le\frac{\pi(u_n)^2}{2(2n+1)}\le\frac{2n+1}{2n}} est équivalente à 2$\fbox{\frac{2sqrt{n+\frac{1}{2}}}{sqrt\pi}\le u_n\le\frac{2n+1}{sqrt{n\pi}}}
Conclure

Sauf erreurs bien entendu

Posté par Eos (invité)Inéquation problématique 01-10-05 à 18:02

Bonjour elhor_abdelali,

Tout d'abord merci d'avoir répondu à mon appel déséspéré (si, si!! Il l'était!)

J'ai une petite question à vous poser ... Je ne vois pas comment vous passez de 0 \le u_n - \frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{\pi}} \le \frac{u_n}{2n+1} à \frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{\pi}} \le u_n \le \frac{2n+1}{\sqrt{n\pi}}

Je comprends que vous avez ajouté \frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{\pi}} de chaque côté de l'inéquation ... mais la partie droite de cette addition me parait étrange car pour ma part je tombe sur \frac{sqrt{\pi}u_n + 4n\sqrt{n} + 2\sqrt{n}}{2\sqrt{\pi}n + \sqrt{\pi}} ce qui m'amène loin de votre \frac{2n+1}{\sqrt{n\pi}}

Ou alors, c'est que vous avez simplifié u_n avec 2n+1 avant d'additionner ce que je ne suis pas arrivé à faire car il me reste des puissances de 2 sous la barre de la fraction et des facteurs de la factorielles au-dessus de la barre.

Si vous pouviez préciser un petit peu plus votre calcul, ça serait super.

Amicalement, Eos

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Inéquation problématique 01-10-05 à 18:18

Allez Eos,on va y aller pas à pas:
4$\fbox{0\le u_n-\frac{2sqrt n}{sqrt\pi}\le\frac{u_n}{2n+1}\hspace{5}\Longleftrightarrow\hspace{5}et\{{0\le u_n-\frac{2sqrt n}{sqrt\pi}\\u_n-\frac{2sqrt n}{sqrt\pi}\le\frac{u_n}{2n+1}}\hspace{5}\Longleftrightarrow\hspace{5}et\{{\frac{2sqrt n}{sqrt\pi}\le u_n\\u_n-\frac{u_n}{2n+1}\le\frac{2sqrt n}{sqrt\pi}} ...

Posté par Eos (invité)Merci 01-10-05 à 19:31

Alors là, je me sens minable et insignifiant mais comme pas possible ....

Ne pas avoir pensé à faire ça ... Ca m'apprendra à vouloir faire compliquer quand on peut faire simple!

De cette façon, on y arrive, en effet!

Merci de m'avoir fait ouvrir les yeux! Et merci d'avoir eu la patience de me mettre sur la voie!

Amicalement, Eos.


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