Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Doctorat AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau doctorat
Partager :

Infiniment petit

Posté par
bilou51 05-01-13 à 13:57

Bonjour à tous,
quelqu'un peut-il m'expliquer pourquoi quand on a : f(x) = x - sinx    et g(x)= ln(1+x) - x, f(x)+g(x)=-x²/2 + x²E(x) et non f(x)+g(x) = x^3/6 - x²/2 + x^3E(x) ?
Ensuite, quelqu'un peut-il m'expliquer pourquoi la limite de f(x)/(f(x)+g(x)) en 0 vaut 0?
Dans la correction de l'examen il est juste dis "car f(x)+g(x) est d'ordre 2". Je ne comprends pas le raisonnement.

Merci d'avance

Posté par
loic74re : Infiniment petit 05-01-13 à 14:12

Bonjour, ta réponse est juste.
Seulement si tu prends le développement limité de f(x)+g(x) à l'ordre 2 tu as
f(x)+g(x)=-\frac{x^2}{2}+o(x^2)
Et si tu pousses le développement plus loin à l'odre 3 tu as :
f(x)+g(x)=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)

En ce qui concerne la limite tu as f(x)= -\frac{x^3}{6}+o(x^3) et f(x)+g(x)=-\frac{x^2}{2}+o(x^2)
En quelque sorte, il faut voir que f(x) tend plus vite vers 0 que f(x)+g(x) donc il l'emporte. Ce n'est pas très formel ce que je dis mais tu peux le formaliser de la sorte

\frac{f(x)}{f(x)+g(x)}=\frac{-\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{-\frac{x^2}{2}+o(x^2)} = \frac{-\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^2(\frac{-1}{2}+o(1))} = \frac{-\frac{x}{6}+o(x)}{\frac{-1}{2}+o(1)}

Le numérateur tend vers 0 et le dénominateur tend vers -1/2 donc le rapport tend vers 0.

Posté par
greenre : Infiniment petit 05-01-13 à 14:16

Je suppose que E c'est le reste dans le développement limité, non ?
Bon, \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3) et \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) en 0. Donc
f(x)=\frac{x^3}{3!}+o(x^3) et g(x)=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) donc
f(x)+g(x)=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)=-\frac{x^2}{2}+o(x^2). Ainsi,
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{f(x)+g(x)}=\frac{\frac{x^3}{3!}+o(x^3)}{-\frac{x^2}{2}+o(x^2)}, tu factorises par x^2, ce qui te donnes

\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{f(x)+g(x)}=\frac{\frac{x}{3!}+o(x)}{-\frac{1}{2}+o(1)}\underset{x\to 0}{\to 0}

L'argument "f+g est d'ordre 2" ne montre rien à mon sens. Mais cela signifie que f+g à un DL d'ordre 2

Posté par
greenre : Infiniment petit 05-01-13 à 14:17

@loic74:

Posté par
bilou51Infiniment petit 05-01-13 à 14:24

J'ai bien compris votre explication pour la limite. Cependant, quand j'ai posé la question à mon prof, on m'a répondu que ça tendait vers 0 car l'ordre 3 l'emporte sur l'ordre 2 et qu'il fallait que je revois mon coup. J'ai rien trouvé du genre dans mon cours. Cela correspond-il a ce que vous venez de m'expliquer ?

Pour l'ordre de f(x)+g(x) on le choisit ? N'y a-t-il pas une règle sur l'ordre d'une somme de DL ?

Merci beaucoup

Posté par
loic74re : Infiniment petit 05-01-13 à 14:57

Ce que t'as expliqué ton prof est effectivement ce que je t'ai montré.
Une autre façon de s'en convaincre est de raisonner par équivalent.

l'équivalent du numérateur est x^3/6 (d'ailleurs je viens de me rendre compte que j'ai fait une erreur de signe dans mes calculs ci-dessus) et celui du dénominateur est -x^2/2.
Donc l'équivalent du quotient est -x/3 qui tend bien vers 0.

Cependant il faut faire attention lors de la manipulation des équivalents car on ne peut pas additionner des équivalents et il y a d'autres mouvements proscrits. Raisonner correctement en DL permet de réduire les chance de se tromper.

j'en reviens donc au DL. Non il n'existe pas de règle précise, il faut bien voir que c'est un outil, et qu'on peut aller aussi loin qu'on n'en a besoin pour la suite des calculs sauf si on te demande explicitement de donner le DL à tel ordre.

illustration : si la question est : Donner un équivalent de sin(x)-x.

Alors tu vas faire un DL de sin(x) :
Si tu le fais à l'ordre 1, tu auras sin(x)=x+o(x)
et donc sin(x)-x=o(x) ce qui n'est pas un équivalent...

Il faut donc que tu pousses plus loin le DL de sin(x) et aller à l'ordre 3 (car le coefficient devant x^2 est nul) ce qui donne sin(x)=x-x^3/6 +o(x^4)
et là sin(x)-x=-x^3/6 +o(x^4) et donc -x^3/6 est l'équivalent de sin(x)-x.

Et si on t'avait demandé un équivalent de  sin(x)-x+x^3/6 il aurait fallu aller à l'ordre 4 et même 5 puisque le terme de degré 4 dans le DL de sin est nul (fonction impaire)

ce qui aurait donné x^5/(5!).

il faut donc adapter les DL à ce dont on a besoin

Posté par
bilou51Infiniment petit 05-01-13 à 15:02

Qu'es-ce que vous appelez un équivalent ?

Posté par
loic74re : Infiniment petit 05-01-13 à 17:23

Ah je pensais qu'on voyait les équivalents avant les DLs, ça doit dépendre des profs.
Je peux pas tout expliquer mais en gros les équivalents, c'est le premier terme du DL (dans notre cas)

Formellement, f(x) et g(x) sont équivalents en a si la limite en a du rapport f(x)/g(x) tend vers 1.
Par exemple x²+1 et x² sont équivalents en +infini car le rapport tend vers1
Bref,
Dans le cas de cet exercice, quand je dis équivalent, c'est le premier terme non nul du DL

Posté par
greenre : Infiniment petit 05-01-13 à 17:31

Citation :
on m'a répondu que ça tendait vers 0 car l'ordre 3 l'emporte sur l'ordre 2 et qu'il fallait que je revois mon coup

En l'infini oui, mais pas en 0. Que penser de \lim_{x\to 0}\frac{1+o(x^2)}{x+o(x)} ? (exemple f(x)=\frac{\cos x-\frac{x^2}{2}}{\sin x}), je doute que le tout tend vers 1


Rechercher
Menu
Espace membre
10 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !