Bonjour Ishakkettaf.

On pose

Si on considère la fonction , si on pose ,

on a bien donc la suite est bornée dans

Par ailleurs, pour tout et .

Conclusion 1 : on ne voit pas bien comment on va extraire de une quelconque sous-suite convergente dans un quelconque

Conclusion 2 : on ne voit donc pas bien comment on va montrer que l'injection est compacte

Bon désolé, ma fonction u ne convient pas ( elle n'est pas dans )

On prend donc u, une fonction à support compact dans ... c'est mieux !

On repose le même qui du coup, lui aussi est dans ( est à support compact dans )

Évidemment, pour tout k entier (on peut poser )

Par contre, pour le coup :

pour tout et (on a utilisé les fait que les ont des supports disjoints)

Pour

Les 2 conclusions restent inchangées !