Je ne suis pas un pro de l'analyse, mais il me semble bien qu'il ne peut exister aucune surjection continue de [0,1[ sur R. R est un ouvert, donc son image réciproque par toute application continue est un ouvert. Or [0,1[ n'est pas un ouvert (il ne contient aucun voisinage de 0).

Hmm non...

Regarde la fonction au fur et à mesure que tu augmentes la valeur de k, elle se "rapproche" de ce que tu veux. Il faudrait trouver un moyen de la faire tenir en entier dans [0,1[...

semble faire l'affaire. Il ne peut pas exister de bijection car une bijection est strictement monotone, donc en partant de f(0) elle ne peut que croître ou décroître, et alors elle ne pourra pas prendre toutes les valeurs réelles.

Bonjour,

Il est évident que plus tard avec l'introduction des espaces topologiques, cet exercie dviendrait évident.

1. En attendant et pour comprendre la question, il faut noter que la continuité d'une fonction injective force l'image par cette fonction à avoir la même nature/forme que l'origine. ici l'origine est fermée au point 0. et comme c'est une surjection, l'image est bien R tout entier. Donc la continuité devrait être problématique au point 0.

2. Il suffit de construire une fonction continue helicoidale qui part de zero et qui fait des allers-retours autour de zéro, (allers-retours) qui gradissent pour devenir infinis au fur et à mesure que l'on s'approche de 1.

Bonjour

La "meilleure réponse" si on sait un tout petit peu de topologie! (Les remarques sur fermé ou ou vert ne tiennent pas trop la route...)

est connexe. Si est bijective, on a . Or privé d'un point n'est pas connexe.

Si on ne connait pas le mot connexe, on peut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour dire que l'image continue d'un intervalle est un intervalle.