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Injection, surjection, bijection, partie entière

Posté par
Tonio1804 13-09-15 à 16:55

J'ai un exercice qui me demande d'étudier l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité des fonctions suivantes :

1) f:, x x3

2) g:, z z3

3) h:, x 2*E(x)-x   où E(x) désigne la partie entière de x

J'ai montré que f était injective puis surjective et donc bijective.

Pour g je ne suis pas certain de ce qui change malgré le fait que i2=-1

Pour h, je vois qu'elle est bijective mais je galère pour montrer injectivité et surjectivité...

Merci pour votre aide

Posté par
ThierryPomare : Injection, surjection, bijection, partie entière 13-09-15 à 17:02

Bonsoir,

Dans \C, tu penses donc que l'on aurait z^3=z_0^3, avec z_0\in\C, uniquement pour z=z_0 ? Les choses changent dans C...

z^3-z_0^3=\cdots

Bonne soirée !

Posté par
philgr22re : Injection, surjection, bijection, partie entière 13-09-15 à 17:03

Bonjour,
Pour g,pense à la forme exponentielle
h n'est pas bijective ....

Posté par
philgr22re : Injection, surjection, bijection, partie entière 13-09-15 à 17:06

pardon!!h l'est oui

Posté par
philgr22re : Injection, surjection, bijection, partie entière 13-09-15 à 17:08

pense à sa courbe sur un intervalle

Posté par
carpediemre : Injection, surjection, bijection, partie entière 13-09-15 à 17:15

salut

pour g

si j est une racine cubique de l'unité différente de 1 que penser de g(z) et g(jz) ?

Posté par
Tonio1804re : Injection, surjection, bijection, partie entière 13-09-15 à 17:38

Bonsoir !

(pardon je l'avais complètement oublié dans mon premier message, un peu fatigué...)

Merci pour vos rapides réponses

Pour g je vois bien que ça change (pour l'injectivité ; pour la surjectivité je pense que ça se vérifie encore)  mais je ne sais pas vraiment comment le prouver, je pense à ça :

On obtient :

z^3-z_0^3=(z-z_0)(z^2+zz_0+z_0^3) donc z^3-z_0^3=0 \Leftrightarrow (z=z_0) ou (z^2+zz_0+z_0^2=0)

et (comme on a pas vu les trinomes du second degré à coefficients complexes je choisis de fixer z_0)
z^2+zz_0+z_0^2=0 \Leftrightarrow z=\frac{-1-i\sqrt{2}}{2}z_0 ou   z=\frac{-1+i\sqrt{2}}{2}z_0

sauf erreur... Je ne sais pas si c'est plus rapide avec la forme exponentielle ?

Par contre pour la h je ne vois pas en quoi elle n'est pas bijective, en traçant la fonction je ne vois pas ce qui cloche...

Posté par
Tonio1804re : Injection, surjection, bijection, partie entière 13-09-15 à 17:42

Malheureusement on a pas encore vu le chapitre sur les complexes donc les racines de l'unité je ne connais pas (ou très peu), mais je pense que ce que j'ai fait (ou équivalent si j'ai fait une erreur) fonctionne ?

Par contre pour la surjectivité, je ne sais pas si je peux prendre la racine cubique d'un complexe comme ça, sans justification ?

Et pour h je vois bien ce qu'il en est sur sa courbe mais ensuite je bloque pour montrer l'injectivité et la surjectivité... Je ne vois pas comment me "débarrasser" de la partie entière

Posté par
Tonio1804re : Injection, surjection, bijection, partie entière 13-09-15 à 17:47

Petite erreur c'est racine de 3 dans les solutions du trinome

Posté par
carpediemre : Injection, surjection, bijection, partie entière 13-09-15 à 18:03

j est le nombre complexe coefficient de tes z_0 de partie imaginaire positive ...

Posté par
carpediemre : Injection, surjection, bijection, partie entière 13-09-15 à 20:48

et si tu étudiais h sur les intervalles [n, n + 1[

en d'autres termes que vaut h(x) lorsque x = n + d avec 0 =< d < 1 et n entier ....

Posté par
philgr22re : Injection, surjection, bijection, partie entière 13-09-15 à 21:15

Avec la forme exponentielle tu as combien d'arguments possibles pour les racines cubiques de z?

Posté par
lafol Moderateurre : Injection, surjection, bijection, partie entière 14-09-15 à 15:16

Bonjour

calcule g(1) et g\left(e^{\frac{2i\pi}{3}}\right) ...

Posté par
lafol Moderateurre : Injection, surjection, bijection, partie entière 14-09-15 à 15:24

pour h, si x = n entier naturel, h(x) = n, et si n < x < n+1, h(x) = 2n - x

-n-1 < -x < -n, donc n-1 < h(x) < n

à partir de là, tu dois être en mesure de trouver l'unique antécédent de n'importe quel réel ...

Posté par
carpediemre : Injection, surjection, bijection, partie entière 14-09-15 à 15:36

Citation :
Bonjour

calcule g(1) et g\left(e^{\frac{2i\pi}{3}}\right) ...



je le lui avais suggéré à 17h15 ...

Posté par
lafol Moderateurre : Injection, surjection, bijection, partie entière 14-09-15 à 15:46

sauf qu'il ne savait pas qui était j

Posté par
carpediemre : Injection, surjection, bijection, partie entière 14-09-15 à 15:47

je lui disais après .... à 18h03 ....

Posté par
lafol Moderateurre : Injection, surjection, bijection, partie entière 14-09-15 à 15:49

tu avoueras que c'est plus facile à calculer avec j sous sa forme exponentielle ?
et pour montrer la non injectivité un contre exemple suffit, pas besoin de s'encombrer d'un z inconnu.

Posté par
carpediemre : Injection, surjection, bijection, partie entière 14-09-15 à 15:56

tout à fait d'accord et pour la notation exp et pour le contre-exemple concret ....

mais lorsqu'on sait que j^3 = 1 alors (jz)^3 = j^3z^3 = z^3 est aussi rapide ...

évidemment lorsqu'on sait ce qu'est j ....


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