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injectivité

Posté par
fusionfroide 04-01-07 à 08:46

Salut  

Bon voilà le problème :

On considère l'application 4$F définie par : \blue\fbox{\fbox{4$F(x,y,z)=(x+y,f(x)+g(y))}}

J'ai déterminé une condition nécessaire et suffisante pour que 4$F soit un 4$C^{1}-difféomorphisme local sur 4$\R^2 Cette CNS est 4$\red \fbox{\fbox{g^{'}(y) \neq f^{'}(x)}} On l'obtient grâce au jacobien.

Là où je bloque, c'est que, cette condition étant supposée satisfaite, je dois démontrer que 4$F est un 4$C^1-difféomorphisme de 4$\R^2 sur 4$F(\R^2)

Donc en fait je n'arrive pas à étudier l'injectivité de 4$F

Merci

Posté par
fusionfroidere : injectivité 04-01-07 à 14:41

En fait, j'ai peut-être trouvé quelque chose qui utilise les accroissements finis à un moment.

Je reviens ce soir...hahaha

Posté par
Camélia Correcteurre : injectivité 04-01-07 à 17:44

Bonjour fusionfroide

Il y a un problème dans ton énoncé. Où est z?

S'il n'y a pas de z, ta condition est juste.

Posté par
fusionfroidere : injectivité 04-01-07 à 17:46

Salut Camélia !

Effectivement, il n'y a pas de z

Posté par
Camélia Correcteurre : injectivité 04-01-07 à 17:50

OK je te laisse réflechir et... je réfléchis aussi!

Posté par
fusionfroidere : injectivité 04-01-07 à 17:53

Posté par
fusionfroidere : injectivité 04-01-07 à 18:05

Cela peut peut-être servir :

Supposons 4$\rm f(x,y)=f(x^',y^')

Alors :

4$\rm \{{x+y=x^'+y^'\atop f(x)+g(y)=f(x^')+g(y^')}

Donc 4$\rm \{{x-x^'=y^'-y\atop f(x)-f(x^')=g(y^')+g(y)}

Donc si 4$y^' \neq y et si 4$x^' \neq x, on a donc 4$\frac{g(y^')-g(y)}{y^'-y}=\frac{f(x)-f(x^')}{x-x^'}

Reste le cas où 4$y^'=y et si 4$x^'=x

Qu'en pensez-vous ?

Posté par
Camélia Correcteurre : injectivité 04-01-07 à 18:16

Modulo quelques fautes de frappe, j'ai compris ce que tu fais. Juste une remarque à cause de la première équation x=x' si et seulement si y=y'. Mais je ne vois toujours pas la conclusion. Qu'est-ce qui empêche l'égalité des fractions?

Posté par
fusionfroidere : injectivité 04-01-07 à 18:19

Pas je ne vois pas trop non plus comment conclure.

J'essaie des trucs...

Posté par
Camélia Correcteurre : injectivité 04-01-07 à 18:26

Si!
Ta première idée était bonne! On suppose donc que g'(u)f'(v) pour tout (u,v). Si c'est bien ça, le théorème des accroissements finis te donne g(y')-g(y)=(y-y')g'(u) et f(x')-f(x)=(x-x')f'(u).
Amusant!

Posté par
fusionfroidere : injectivité 04-01-07 à 18:34

J'avais justement parlé des accroissements finis dans un précédent message, car j'avais obtenu cette égalité.

Merci Camélia de m'avoir réfléchi sur cet exo

A+

Posté par
fusionfroidere : injectivité 04-01-07 à 18:58

*d'avoir réfléchi...


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