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injectivité

Posté par
ferenc 29-12-11 à 20:45

bonjour, je veux montrer que si f:\R\to\R est strictement monotone alors f est injective.
Voici ma démontrastion:
1) Montrons la contraposé. Supposons f n'est pas injective, ainsi, \exists x,y tel que x<y\wedge f(x)=f(y) (Bon c'est un peu triviale ^^)
ainsi, on a que (x<y)\wedge[(f(x)\leq f(y))\vee (f(x)\geq f(y))] donc f  n'est pas strictement monotone.

Mais ça me semble un peu simple !!
Est-ce juste ?

Posté par
Jordre : injectivité 29-12-11 à 21:05

Salut,

en quoi ce que tu écris montre-t-il la non stricte monotonie?

Posté par
ferencre : injectivité 29-12-11 à 22:20

et bien si x<y on a que soit f(x)\leq f(y) et donc elle est juste croissante (mais pas strictement) soit f(x)\geq f(y) et là elle est juste décroissante (mais pas strictement)

Posté par
ferencre : injectivité 30-12-11 à 13:09

c'est faux ce que j'ai dit ?
merci !

Posté par
DHilbertre : injectivité 30-12-11 à 13:17

Soit x et y dans \R tels que x\neq y. Puisque \R est totalement ordonné, l'on a x<y ou bien  x>y. Sans nuire à la généralité, supposons x<y. Puisque f est strictement monotone, l'on a soit f(x)<f(y), soit f(x)>f(y), c'est-à-dire f(x)\neq f(y). D'où le résultat attendu.

A +

Posté par
ferencre : injectivité 30-12-11 à 13:30

parfait, merci beaucoup !!!


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