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Niveau Licence Maths 1e ann
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Injectivité et bijection d'un endomorphisme

Posté par
babybrain
23-10-11 à 19:39

Bonsoir,

L'énoncé est le suivant :
{
Soit L, l'endomorphisme de [X] qui à tout polynôme P [X] associe le polynôme dérivé XP.

Calculer l'image et le noyau de L. Que constatez-vous ?
}

Voici la correction :
{
Pour tout P0, on a XP0, donc L est injectif. Son image est formée des polynômes divisibles par X, c'est à dire qu'il s'annulent en 0. On constate donc que L : [X] [X] est un endomorphisme injectif mais pas bijectif.
}

Je n'ai pas compris la démonstration sur l'injectivité de L. Moi je connais qu'une seul façon de démontrer qu'une fonction est injective, celle-ci: X1X2 f(X1) f(X2).
Celle de la correction ne me parais pas assez rigoureuse.

Du coup la constatation sur la bijection de L m'est passez au-dessus.

Si quelqu'un pourrait m'expliquer cette façon de démontrer l'injectivité de L, ce serait vraiment sympa.

Merci d'avance

Posté par
critou
re : Injectivité et bijection d'un endomorphisme 23-10-11 à 19:52

Bonjour,

Tu connais la définition générale de l'injectivité (l'injectivité d'une application f entre deux ensembles).

Dans le cas où les ensembles en question sont des espaces vectoriels et où f est une application linéaire, tu dois (devrais) savoir que : f est injective ssi Ker f={0}.

Preuve que c'est bien équivalent à la définition générale :
- Si Ker(f)={0}, alors :
si x1≠x2, on a x1-x2≠0, donc (d'après l'hypothèse) f(x1-x2)≠0, donc (f linéaire) f(x1)-f(x2)≠0 i.e. f(x1)≠f(x2). On a bien montré que : x1≠x2 => f(x1)≠f(x2).
- Si x1≠x2 => f(x1)≠f(x2), alors :
soit x dans Ker(f) : f(x)=0. Comme on sait que f(0)=0 (car f est linéaire), on a f(x)=f(0) donc (d'après l'hypothèse) x=0. Ainsi Ker(f)={0}.

Posté par
babybrain
re : Injectivité et bijection d'un endomorphisme 23-10-11 à 20:36

A ok. Logique; P0, XP0 Ker(P)=0 Ker(P)={0}, seulement le vecteur nul. Ok compris là dessus. Mais après en quoi ça nous informe sur la bijection.

Posté par
babybrain
re : Injectivité et bijection d'un endomorphisme 23-10-11 à 20:42

petite correction
* p0, XP0 Ker(P)={0}

Posté par
Pildou
re : Injectivité et bijection d'un endomorphisme 23-10-11 à 20:53

Si je ne m'abuse, la correction reprend ta définition mais avec le polynôme nul en utilisant le fait que XP\neq0 si P\neq0 et que L(0)=0, propriété de l'endomorphisme L.

Posté par
critou
re : Injectivité et bijection d'un endomorphisme 23-10-11 à 20:53

Ça prouve que f est injective. C'était ta question non ?

Pour la non-surjectivité,

Citation :
Son image est formée des polynômes divisibles par X, c'est à dire qu'il s'annulent en 0

Posté par
babybrain
re : Injectivité et bijection d'un endomorphisme 23-10-11 à 20:57

Oui, mais ensuite je parlais de la bijection. Mais j'ai compris maintenant, L n'est pas surjectif.

Merci!

Posté par
critou
re : Injectivité et bijection d'un endomorphisme 23-10-11 à 20:57

De rien

Bonne nuit !



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