Bonsoir,
L'énoncé est le suivant :
{
Soit L, l'endomorphisme de [X] qui à tout polynôme P
[X] associe le polynôme dérivé XP.
Calculer l'image et le noyau de L. Que constatez-vous ?
}
Voici la correction :
{
Pour tout P0, on a XP
0, donc L est injectif. Son image est formée des polynômes divisibles par X, c'est à dire qu'il s'annulent en 0. On constate donc que L :
[X]
[X] est un endomorphisme injectif mais pas bijectif.
}
Je n'ai pas compris la démonstration sur l'injectivité de L. Moi je connais qu'une seul façon de démontrer qu'une fonction est injective, celle-ci: X1X2
f(X1)
f(X2).
Celle de la correction ne me parais pas assez rigoureuse.
Du coup la constatation sur la bijection de L m'est passez au-dessus.
Si quelqu'un pourrait m'expliquer cette façon de démontrer l'injectivité de L, ce serait vraiment sympa.
Merci d'avance
Bonjour,
Tu connais la définition générale de l'injectivité (l'injectivité d'une application f entre deux ensembles).
Dans le cas où les ensembles en question sont des espaces vectoriels et où f est une application linéaire, tu dois (devrais) savoir que : f est injective ssi Ker f={0}.
Preuve que c'est bien équivalent à la définition générale :
- Si Ker(f)={0}, alors :
si x1≠x2, on a x1-x2≠0, donc (d'après l'hypothèse) f(x1-x2)≠0, donc (f linéaire) f(x1)-f(x2)≠0 i.e. f(x1)≠f(x2). On a bien montré que : x1≠x2 => f(x1)≠f(x2).
- Si x1≠x2 => f(x1)≠f(x2), alors :
soit x dans Ker(f) : f(x)=0. Comme on sait que f(0)=0 (car f est linéaire), on a f(x)=f(0) donc (d'après l'hypothèse) x=0. Ainsi Ker(f)={0}.
A ok. Logique; P
0, XP
0 Ker(P)=0
Ker(P)={0}, seulement le vecteur nul. Ok compris là dessus. Mais après en quoi ça nous informe sur la bijection.
Si je ne m'abuse, la correction reprend ta définition mais avec le polynôme nul en utilisant le fait que si
et que
, propriété de l'endomorphisme L.
Ça prouve que f est injective. C'était ta question non ?
Pour la non-surjectivité,
Oui, mais ensuite je parlais de la bijection. Mais j'ai compris maintenant, L n'est pas surjectif.
Merci!
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