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integale dépendant d un paramètre

Posté par gouari (invité) 28-03-06 à 19:56

je vous salut mes chers amis!!
veruillez me donner un coup de pouce:
etudier la continuité et la dérivabilité sur le domaine d'existence (é déterminer) de :
            (o à 1)  1/t(1-xt).dt
merci infinnimenty et a bientot!!

Posté par
veledaintegrale dépendant d un parametre 28-03-06 à 22:15

bonsoir,les spécialistes de l'analyse n'ont pas l'air d'être présents en ce moment,je veux bien essayer de t'aider:je ferais le changement de variable u=tx ce qui permettrait de "sortir"le x
t varie de Oà1 donc1-tx doit être positif
n'oublies pas le changement de bornes si tu suis mon idée
bon courage

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : integrale dépendant d un parametre 29-03-06 à 02:16

Bonsoir;
Notons \fbox{f(x)=\int_{0}^{1}\frac{dt}{sqrt{t(1-xt)}}}.
Domaine de définition de f:
(*)Si \fbox{x\le0} la fonction \fbox{t\to\frac{1}{sqrt{t(1-xt)}}} est définie continue sur ]0,1] et comme \fbox{\forall t\in]0,1]\\0<\frac{1}{sqrt{t(1-xt)}}\le\frac{1}{sqrt t}} et la fonction \fbox{t\to\frac{1}{sqrt t}} est intégrable sur [0,1] on voit que f est bien définie.
(*)Si \fbox{0<x<1} la fonction \fbox{t\to\frac{1}{sqrt{t(1-xt)}}} est définie continue sur ]0,1] et comme \fbox{\forall t\in]0,1]\\0<\frac{1}{sqrt{t(1-xt)}}\le\frac{1}{sqrt{1-x}sqrt t}} et la fonction \fbox{t\to\frac{1}{sqrt{1-x}sqrt t}} est intégrable sur [0,1] on voit que f est bien définie.
(*)Si \fbox{x=1} la fonction \fbox{t\to\frac{1}{sqrt{t(1-t)}}} est définie continue sur ]0,1[ et est équivalente en 0^+ à \fbox{t\to\frac{1}{sqrt t}} et en 1^- à \fbox{t\to\frac{1}{sqrt{1-t}} toutes les deux positives et intégrables sur [0,1] et on voit ainsi que f est bien définie pour x=1.
(*)Si \fbox{x>1} lorsque t décrit [0,1] le réel 1-xt décrit [1-x,1] et prend par conséquent des valeurs strictement négatives d'où f n'est pas définie pour x>1.
Conclusion:
3$\blue\fbox{D_f=]-\infty,1]}
Sauf erreurs
A suivre...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrale dépendant d un paramétre 29-03-06 à 04:32

Continuité et dérivabilité de f:
(*)Pour \fbox{x<0} faisons le changement de variable \fbox{u=-xt} il vient que \fbox{f(x)=\frac{1}{sqrt{-x}}\int_{0}^{-x}\frac{du}{sqrt{u(1+u)}}} et avec le nouveau changement de variable \fbox{u=sh^2(v)} on a que 3$\blue\fbox{f(x)=\frac{2argsh(sqrt{-x})}{sqrt{-x}}}
la fonction \fbox{argsh{:}\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\x\to ln(x+sqrt{1+x^2})} étant la bijection réciproque de la fonction \fbox{sh{:}\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\x\to\frac{e^x-e^{-x}}{2}}
(*)\blue\fbox{f(0)=\int_{0}^{1}\frac{dt}{sqrt t}=[2sqrt t]_{0}^{1}=2}
(*)Pour \fbox{0<x\le1} faisons le changement de variable \fbox{u=xt} il vient que \fbox{f(x)=\frac{1}{sqrt{x}}\int_{0}^{x}\frac{du}{sqrt{u(1-u)}}} et avec le nouveau changement de variable \fbox{u=sin^2(v)} on a que 3$\blue\fbox{f(x)=\frac{2arcsin(sqrt{x})}{sqrt{x}}}
Il est facile d'établir la continuité de f sur ]-\infty,1] et sa dérivabilité sur ]-\infty,0[\cup]0,1[
Dérivabilité en 0:
-Comme \fbox{sqrt{1+h^2}=1+\frac{h^2}{2}+o(h^3)} on a que
\fbox{argsh(h)=ln(h+sqrt{1+h^2})=ln(1+h+\frac{h^2}{2}+o(h^3))=h+\frac{h^2}{2}-\frac{(h+\frac{h^2}{2})^2}{2}+\frac{(h+\frac{h^2}{2})^3}{3}+o(h^3)=h-\frac{h^3}{6}+o(h^3)} d'où
\fbox{2\frac{argsh(h)}{h}-2=-\frac{h^2}{3}+o(h^2)} c'est à dire que \fbox{\frac{f(-h^2)-f(0)}{-h^2}=\frac{1}{3}+o(1)} ce qui prouve que 3$\blue\fbox{\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{1}{3}}
-Comme \fbox{sqrt{1-h^2}=1-\frac{h^2}{2}+o(h^3)} on a par inversion \fbox{\frac{1}{sqrt{1-h^2}}=1+\frac{h^2}{2}+o(h^3)} puis par intégration \fbox{arcsin(h)=h+\frac{h^3}{6}+o(h^3)} d'où \fbox{2\frac{arcsin(h)}{h}-2=\frac{h^2}{3}+o(h^2)} c'est à dire que \fbox{\frac{f(h^2)-f(0)}{h^2}=\frac{1}{3}+o(1)} ce qui prouve que 3$\blue\fbox{\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{1}{3}} et f est ainsi dérivable en 0 avec 3$\blue\fbox{f'(0)=\frac{1}{3}}
Dérivabilité en 1^-:
Il est facile de voir que \fbox{\lim_{x\to1^-}f'(x)=+\infty} et en utilisant le théorème des accroissements finis on établit facilement que \fbox{\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=+\infty} et donc que f n'est pas dérivable en 1^- et que sa courbe admet au point (1,\pi) une demi-tangente verticale dirigée vers le bas.
Sauf erreurs bien entendu

Posté par
veledareintegrale dépendant d un parametre 29-03-06 à 06:27

bonjour  etmerci d'avoir pris la relève,bonne journée

Posté par gouari (invité)merci 29-03-06 à 23:03

je vous suis si reconnaissant mes amis et salut à toi mon cher ami abdelali!
merci !
et à bientot!!!


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