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intégrabilité

Posté par
fusionfroide 03-01-07 à 15:05

Salut

Trouvez-vous que la fonction 4$f définie par 4$f(x)=\frac{exp{ix}}{1+x^2} est intégrable sur 4$\R

Merci et A+

Posté par
Mahowre : intégrabilité 03-01-07 à 15:07

Euh.... si on considère x un nombre complexe, mais qu'on intègre sur le chemin suivant IR, oui.

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrabilité 03-01-07 à 15:11

salut fusionfroide

Oui, car \Large{|f(x)|=\frac{1}{1+x^{2}}} qui est clairement intégrable.

Mahow> pas compris !

Kaiser

Posté par
Mahowre : intégrabilité 03-01-07 à 15:12

Bah si je considère f de C dans C, et je calcul l'intégrale d'un chemin sur IR, ça marche aussi ...

Posté par
fusionfroidere : intégrabilité 03-01-07 à 15:12

Justement je n'arrive pas à le montrer !

En fait, j'essaie de montrer que f admet une intégrale absolument convergente.

Posté par
Mahowre : intégrabilité 03-01-07 à 15:14

Tu cherches à montrer que 1/1+x² est intégrable sur R alors ?

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrabilité 03-01-07 à 15:14

fusionfroide> le module de f est une fonction continue et on voit donc clairement que les seuls problèmes sont en l'infini.
En l'infini, on a du \Large{\frac{1}{x^{2}}} en l'infini et ça c'est intégrable d'après Riemann.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : intégrabilité 03-01-07 à 15:15

Oui Kaiser ça je l'ai tout de suite vu !

Mais quelque chose me gêne : on a peut écire que 4$\int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|dt=[arctan(t)]_{-\infty}^{+\infty}

Est-ce licite ?

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrabilité 03-01-07 à 15:17

ben oui.
Pourquoi ?
ça semble te choquer ?
On sait que c'est intégrable donc je ne vois pas où est le problème.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : intégrabilité 03-01-07 à 15:17

Je crois écrire n'importe quoi

Posté par
fusionfroidere : intégrabilité 03-01-07 à 15:18

bon d'accord !

Posté par
fusionfroidere : intégrabilité 03-01-07 à 15:19

J'ai mis le doigt sur ce qui me bloque : je te le rédige de suite avant que ça ne reparte

Posté par
fusionfroidere : intégrabilité 03-01-07 à 15:25

Je crois avoir compris mon erreur : j'avais décomposé mon intégrale en deux intégrales divergentes !!

Posté par
fusionfroidere : intégrabilité 03-01-07 à 15:26

Merci beaucoup kaiser d'avoir dépoussiéré mon cerveau

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrabilité 03-01-07 à 15:34

Posté par
fusionfroidere : intégrabilité 03-01-07 à 15:43

encore moi

J'espère que je ne vais pas te faire déserter du forum

Si on prouve que 4$\int_{I} f(t)dt converge sur 4$I, peut-on en déduire quelque chose sur son intégrabilité ?

Merci

Posté par
fusionfroidere : intégrabilité 03-01-07 à 15:44

sur l'intégrabilité de f je veux dire

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrabilité 03-01-07 à 15:50

Citation :
J'espère que je ne vais pas te faire déserter du forum


Il en faudra bien plus ! :D

Quant à ta question, je dirais que ça dépend.
Si on parle d'intégrabilité au sens de Riemann, alors on ne peut rien dire.
Exemple :

\Large{f(t)=\frac{\sin(t)}{t}} sur \Large{\mathbb{R}}.

Si on parle d'intégrabilité au sens de Lebesgue, alors, sans mauvais jeu de mots(), il y a aucune demi-mesure : soit c'est intégrable et alors son intégrale existe, soit c'est pas intégrable et on ne parle même pas de semi-convergence.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : intégrabilité 03-01-07 à 15:53

D'accord je te remercie encore une fois, kaiser !

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrabilité 03-01-07 à 15:53

Posté par
fusionfroidere : intégrabilité 03-01-07 à 17:24

Toujours sur le même sujet, je dois étudier l'intégrabilité de la fonction f définie par 4$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} sur 4$]-1,1[

Pour ce faire, j'essaie de montrer que f admet une intégrale absolument convergente.

On remarque que pour 4$x \in ]-1,1[, 4$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \le \frac{1}{sqrt{2}}

On pourrait donc conclure que l'intégrale de 4$|f(t)| est convergente, donc f est intégrable.

Qu'en penses-tu ?


Si ce n'est pas correct, peux-tu me donner une piste ?

Merci

Posté par
Roulianere : intégrabilité 03-01-07 à 17:37

Ta majoration est fausse, pour x très proche de 1 tu voi bien que ta fonction tend vers l'infinie

Posté par
fusionfroidere : intégrabilité 03-01-07 à 17:39

Oui c'est n'importe quoi !

Aurais-tu une idée ?

Posté par
ottore : intégrabilité 03-01-07 à 17:41

Ta fonction est paire et positive.
Tu n'as qu'à trouver un équivalent de f en 1.

Posté par
fusionfroidere : intégrabilité 03-01-07 à 18:05

Je ne trouve pas d'équivalents en 1.

Par contre en 1 on : 4$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ~ 4$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{1+x}}

Et si on remarque que f(x) est la dérivée de arcsin(x) ?

Posté par
ottore : intégrabilité 03-01-07 à 18:08

1-x²=(1+x)(1-x)
1+x en 1 est équivalent à 2 (une constante, donc on s'en fout un peu)

donc ta fonction est équivalente en 1 à
\frac{1}{\sqrt{2(1-x)}}
qui est une fonction clairement intégrable en 1. (Critère de Riemann)

Posté par
fusionfroidere : intégrabilité 03-01-07 à 18:09

Pardon l'équivalent est en 1

Posté par
ottore : intégrabilité 03-01-07 à 18:09

Ton équivalent est faux, ta fonction tend vers une limite finie à droite et pas à gauche.
Mais tu as eu grosso modo la même idée.

Posté par
fusionfroidere : intégrabilité 03-01-07 à 18:10

Oui d'accord, oubliais mon dernier message

Posté par
fusionfroidere : intégrabilité 03-01-07 à 18:10

oubliez

PS : je suis malade ...

Posté par
jeansebre : intégrabilité 03-01-07 à 23:31

Donc Kaiser, c'est la question de 15h43 et ta réponse qui me questionnent, justement:

... mais je pense avoir compris, grace à ton exemple:

c'est la définition de l'intégrabilité, qui dit que f est intégrable sur I si I|f| converge. C'est cela?

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrabilité 03-01-07 à 23:33

C'est bien ça !

Kaiser

Posté par
jeansebre : intégrabilité 03-01-07 à 23:35

Merci!

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrabilité 03-01-07 à 23:35


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