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Integrable au sens de Riemann
Salut tout le monde,
J'ai lu qu'une fonction bornnée definie sur un compact et continue partout sauf en un nombre dénombrable de point est intégrable au sens de Riemann.
On peut donc appliquer ce theoreme pour dire que la fonction de Dirichlet(vaut 1 sur les rationnels et 0 sinon) est integrable au sense de Riemann, ce qui n'et pas le cas!
Ou est la faille?
Sinon, que peut on dire de la fonction: f(x)=1 si x=1/n, et f(x)=0 sinon, je dirai qu'elle est integrable au sens de Riemann, vu qu'elle est continue sauf en un nombre denombrable de points!
Merci pour votre réponse.
Hmmm, mais cette fonction vaut 0 partout sauf sur les rationnels qui sont dénombrables...
Pourquoi on ne peut appliqer le TH enoncé?
Cela tient à la densité de Q dans R.
Soit r un rationnel. Tout intervalle du type ]r-a,r+a[ contiendra au moins un irrationnel. Donc pas de continuité.
A plus RR.
Je comprends ce que tu veux dire, c'est vrai que Q est dense dans R mais ça reste comme meme un ensemble denombrable... et donc, on peut appliquer le th...
Mathematiquement parlant, on peut prouver que l'integrale sup et l'integral inf ne sont pas identiques d'ou la fonction de Dirchlet n'est pas intgrable... mais que dire de la deuxième fonction: f(x)=1 si x=1/n, et f(x)=0.
Merci.
tu peux expliquer un peu plus... a mon avis, l'ensemeble N ne se comporte pas de la meme facon que Q et en plus il denombrable, et donc je pense que la fonction est integrable...
Merci d'avance.
Je te propose ceci.
Supposons f continue en 0. Comme tout voisinage de 0 contient des réels autres que le type 1/n, f(0) = 1
On devrait d'autre part avoir
Ceci contredit le fait que, pour tout n > 0, f(1/n) = 0.
Il serait intéressant d'étudier l'intégrabilité sur un intervalle ne contenant pas 0. Il me semble qu'alors f
est intégrable sur un tel intervalle.
oui ça serait plus facile d'étudier la fonction sur un intervalle de type[a,1], a>0, vu que 0 est le point d'accumulation qui posait problème... Sauf que c'est pas vraiment mon but 
En tout cas, merci pour tes réponses.
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