Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
•considèrons la fonction f définie pour (x,t)(]0,+[)² par:
f(x,t)=e^-tt^x-1.
1) Montrer que f est de Classe C¹ sur (]0,+[)²
* On a (x,t)(]0,+[)²
*(x,t)---> e^-t est une fonction usuelle de C¹ sur ²
** (x,t)--> (x-1)ln(t) est le produit de deux fonctions usuelles de C¹
Et comme la fonction exp est de C¹ sur ² alors (x,t)--> exp((x-1)ln(t)) est de C¹ sur (]0,+[)²
Finalement, f est de C¹ sur (]0,+[)²
2) calculer et (dérivé partielle)
Puisque f est de C¹ sur (]0,+[)² alors :
.
*\dfrac{df(x,t)}{dt}=
3) Montrer que : x]0,1] |f(x,t)|≤1/t^1-x .En en deduit que t--> f(x,t) est intégrable sur ]0,1]
*On a f(x,t)=e^{-t} t^x-1 =1/e^t t^x-1 t]0,+[
Donc t>0<=> -t<0
==> 0≤e^-t≤1
Alors x]0,1] |f(x,t)|≤t^x-1=1/t^1-x
**On a x]0,1] |f(x,t)|≤1/t^1-x=g(x,t)
Avec g une fonction continue positive et intégrable sur ]0,1] car
4)Montrer que
Et on déduire que t--> f(x,t) est intégrable sur [1,+[:
•\lim_{t\to+\infty} t² f(x,t)=\lim_{t\to+\infty}t²e^-tt^x-1=\lim_{t\to+\infty} t^x+1 e^-t=0
Car \lim_{t\to+\infty} e^-t=0
••on a \lim_{t\to+\infty}t² f(x,t)=0 Alors
>0 A>0 t[1,+[ t² f(x,t)≤ <=> f(x,t)≤/t²=h(t)
Avec h fonction continue positive et intégrable sur [1,+[ Donc f est intégrable sur [1,+[
5) soit pour x]0,+[ F(x)=
a) par une intégration par parties,établir l'égalité suivante:
F(x+1)=xF(x)
*x]0,+[
F(x+1)=
D'où x>0 F(x+1)=xF(x)
b) Montrons que F(1/2)=2 et en déduire la valeur de F(1/2)
*F(1/2)=
On effectuant un changement de variable u= <=> t=u²
dt=2udu
F(1/2)=
Finalement F(1/2)=
Or
=> F(1/2)=
6) Soit G(x)=
avec x>0 . Montrer que G est de C¹ sur ^*+ et calculer G'(x)
*On a G(x)=
Et f est de C¹ sur (]0,+[)² ( question 1)
Et (x)=x, (x)=x² sont de classe C¹ sur ⁺
AlorsG est de C¹ sur ^*+
Alors :
G'(x)=
Merci beaucoup