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Niveau école ingénieur
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Integral dépandant d'un paramètre 2

Posté par
Mathes1
14-05-23 à 21:38

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
•considèrons la fonction f définie pour (x,t)(]0,+[)2 par:
f(x,t)=e-ttx-1.
1) Montrer que f est de Classe C1 sur (]0,+[)2
* On a (x,t)(]0,+[)2
*(x,t)---> e-t est une fonction usuelle de C1 sur 2
** (x,t)--> (x-1)ln(t) est le produit de deux fonctions usuelles de C1
Et comme la fonction exp est de C1 sur 2 alors (x,t)--> exp((x-1)ln(t)) est de C1 sur (]0,+[)2
Finalement, f est de C1 sur (]0,+[)2
2) calculer \dfrac{df(x,t)}{dx} et \dfrac{df(x,t)}{dt} (dérivé partielle)
Puisque f est de C1 sur (]0,+[)2 alors :
.\dfrac{df(x,t)}{dx}=e^{-t} ln(t) e^{(x-1)ln(t)}=f(x,t) ln(t).
*\dfrac{df(x,t)}{dt}=e^{-t} t^{x-1} \left(-1+\dfrac{x-1}{t} \right)
3) Montrer que : x]0,1] |f(x,t)|≤1/t1-x .En en deduit que t--> f(x,t) est intégrable sur ]0,1]
*On a f(x,t)=e^{-t} tx-1 =1/et tx-1 t]0,+[
Donc t>0<=> -t<0
==> 0≤e-t≤1
Alors x]0,1] |f(x,t)|≤tx-1=1/t1-x
**On a x]0,1] |f(x,t)|≤1/t1-x=g(x,t)
Avec g une fonction continue positive et intégrable sur ]0,1] car \int_{0}^{1} g(x,t) dt =\int_{0}^{1} t^{x-1} dt= \dfrac{1}{x}
4)Montrer que \lim_{t\to+\infty} t²f(x,t) =0
Et on déduire que t--> f(x,t) est intégrable sur [1,+[:
•\lim_{t\to+\infty} t2 f(x,t)=\lim_{t\to+\infty}t2e-ttx-1=\lim_{t\to+\infty} tx+1 e-t=0
Car \lim_{t\to+\infty} e-t=0
••on a \lim_{t\to+\infty}t2 f(x,t)=0 Alors
>0 A>0 t[1,+[ t2 f(x,t)≤ <=> f(x,t)≤/t2=h(t)
Avec h fonction continue positive et intégrable sur [1,+[ Donc f est intégrable sur [1,+[
5) soit pour x]0,+[ F(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t} t^{x-1} dt
a) par une intégration par parties,établir l'égalité suivante:
F(x+1)=xF(x)
*x]0,+[
F(x+1)=\int_{0}^{+\infty} e^{-t} t^{x} dt=\left[-e^{-t} t^{x} \right]_{t=0}^{t=+\infty} +\int_{0}^{+\infty}e^{-t} xt^{x-1} dt=x\int_{0}^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} dt
D'où x>0 F(x+1)=xF(x)
b) Montrons que F(1/2)=2\int_{0}^{+\infty} e^{-t²} dt et en déduire la valeur de F(1/2)
*F(1/2)=\int_{0}^{+\infty} e^{-t} t^{-1/2} dt =\int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{\sqrt{t}} dt
On effectuant un changement de variable u=\sqrt(t) <=> t=u2
dt=2udu
F(1/2)=\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{u} e^{-u²} 2u du =2\int_{0}^{+\infty}e^{-u²} du
Finalement F(1/2)=2\int_{0}^{+\infty} e^{-t^{2}} dt
Or \int_{0}^{+\infty} e^{-u²} du =\dfrac{\sqrt \pi}{2}
=> F(1/2)=\sqrt{\pi}
6) Soit G(x)=\int_{x}^{x²} e^{-t} t^{x-1} dt
avec x>0 . Montrer que G est de C1 sur *+ et calculer G'(x)
*On a G(x)=\int_{x}^{x²} f(x,t) dt ,x>0
Et f est de C1 sur (]0,+[)2 ( question 1)
Et (x)=x, (x)=x2 sont de classe C1 sur +
AlorsG est de C1 sur *+
Alors :
G'(x)=2xf(x,x²)-f(x,x) +\int_{x}^{x²}\dfrac{df(x,t)}{dx} dt
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1
re : Integral dépandant d'un paramètre 2 15-05-23 à 10:02

Bonjour

Citation :
2)*\dfrac{df(x,t)}{dt}=e^{-t} t^{x-1} \left(-1+\dfrac{x-1}{t} \right)
4)\lim_{t\to+\infty} t^2 f(x,t)=\lim_{t\to+\infty}t^2e^{-t}t^{x-1}=\lim_{t\to+\infty} t^{x+1} e^{-t}=0
 \\ Car \lim_{t\to+\infty} e^{-t}=0
 \\ ••on a \lim_{t\to+\infty}t^2 f(x,t)=0

Merci beaucoup

Posté par
Mathes1
re : Integral dépandant d'un paramètre 2 15-05-23 à 20:56

Bonjour

Merci

Posté par
LeHibou
re : Integral dépandant d'un paramètre 2 16-05-23 à 12:01

Bonjour,

Quelle est ta question ?

Posté par
Mathes1
re : Integral dépandant d'un paramètre 2 16-05-23 à 13:35

Bonjour
Mon question  :
est ce qu'il y des erreurs ou quelque chose à ajouter à propos de mes raisonnements et merci beaucoup

Posté par
Mathes1
re : Integral dépandant d'un paramètre 2 17-05-23 à 14:49

Bonjour
Merci à tous

Posté par
AitOuglif
re : Integral dépandant d'un paramètre 2 17-05-23 à 16:55

Bonjour

Dans la question 3, je vois une domination par une fonction qui dépend du paramètre x. Du coup, quel est ton argument pour conclure à l'intégrabilité?



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