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Integral dépandant d'un paramètre 3

Posté par
Mathes1 23-05-23 à 23:18

Bonjour à tous,
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
•Soit la fonction définie par :
\phi(x,\theta)=\dfrac{1}{1-2xcos(\theta)+x^2}
Pour (x,)]-1,1[×[0,]
1) Montrer que est bien définie sur D=]-1,1[×[0,]
2)Etudier la continuité de sur D
3) Soit I(x)=\int_{0}^{\pi}\phi(x,\theta)d\theta
a) Montrer que I est continue sur ]-1,1[
b) Soit t=tan(\dfrac{\theta}{2}), Montrer que :cos²(arctan(t))=\dfrac{1}{1+t^2}
c)En utilisant un changement de variables,t=tan(\dfrac{\theta}{2}), montrer que:
I(x)=2\int_{0}^{+\infty}\dfrac{dt}{(1-x)^2+(1+x)^2t^2}
d)En déduire que:
I(x)=\dfrac{\pi}{1-x^2}
4) Considérons la fonction f(x)=\int_{0}^{\pi}\dfrac{2(x-cos(\theta))}{1-2xcos(\theta)+x^2}d\theta
a) Soit x≠0, montrer que u:\dfrac{2(x-u)}{1-2xu+x^2}=\dfrac{1}{x}+\left(\dfrac{x^2-1}{x} \right)\left(\dfrac{1}{1-2xu+x^2} \right)
b)En déduire que x]-1,1[:f(x)=0
5) Soit F(x)=\int_{0}^{\pi}ln\left( 1-2xcos(\theta)+x^2\right)d\theta
a) Montrer que F est de classe C1 sur ]-1,1[ et calculer F'(x)
b)Montrer que la fonction F est nulle sur ]-1,1[
c)Donner la valeur de J=\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}ln(1-cos(\theta))d\theta
-----------------
1) est bien définie si 1-2xcos()+x2≠0
Une indication s'il vous plaît
2) on a est continue sur D en tant que quotient et produits et sommes des fonctions continue sur D
En plus :
\lim_{x\to 1+}\phi(x,\theta)=\lim_{x\to 1+}\dfrac{1}{1-2xcos(\theta)+x^2}=\dfrac{1}{2-2cos(\theta)}
Et cos()=±1 sur [0,]
•\lim_{x\to -1} \phi(x,\theta)=\dfrac{1}{2+2cos(\theta)}.
3) a) on a est continue sur D en particulier sur ]-1,1[ ( d'après 2)
donc I est continue sur ]-1,1[
b) une indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Integral dépandant d'un paramètre 3 24-05-23 à 08:54

Bonjour,
Je ne réponds que pour 3)b).
En posant a = /2.
t = tan(a) donne a = arctan(t).
Il s'agit donc de démontrer cos^{2}(a) = \dfrac{1}{1+tan^{2}(a)}.
Une remarque : a doit être different de /2 ; donc doit être different de

Posté par
AitOuglifre : Integral dépandant d'un paramètre 3 24-05-23 à 09:03

Bonjour
1) Calcule le discriminant du trinôme en x

Ensuite, on veut bien donner des indications, mais c'est bien aussi de répondre aux questions qu'on te pose…

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 3 24-05-23 à 12:45

Bonjour
1) on a est bien définie si 1-2xcos()
+x2≠0
On a x=-4(sin)2<0
Car sur [0,] sin≥0
D'où est bien définie sur [0,]
3-b)
On a pour a≠/2 :
1+tan^2(a)=\dfrac{1}{cos²(a)}
D'où pour a≠/2:
cos²(a)=\dfrac{1}{1+tan²(a)}
Or pour a=/2,a=arctan (t)
Avec ≠
On a le résultat :cos²(arctan (t))=\dfrac{1}{1+t^2}
3-c) on pose t=tan(/2)
I(x)=\int_{0}^{\pi}\phi(x,\theta) d\theta
donc :\dfrac{\theta}{2}=artan(t)
Donc \dfrac{1}{2} d\theta=\dfrac{1}{1+t²}
Donc I(x)=2\int_{0}^{+\infty} \dfrac{\dfrac{1}{1+t²}}{1-2xcos(2arctan(t))+x^2} dt
Une indication s'il vous plaît merci beaucoup à tous

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 3 24-05-23 à 13:13

Pour 3-c) j'ai trouvé !
I(x)=2\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\dfrac{1}{1+t^2}}{1-2x\left( cos^2(arctan(t)-sin^2(arctan(t)\right)+x^2}dt
Avec \boxed{sin^2(arctan(t))=\dfrac{t^2}{1+t^2}}
•I(x)=2\int_{0}^{+\infty} \dfrac{1}{(1+t²)-2x+2xt²+x²(1+t²)} dt=\boxed{\huge{2\int_{0}^{+\infty}\dfrac{dt}{(1-x)^2+(x+1)^2t^2}}}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Integral dépandant d'un paramètre 3 24-05-23 à 13:44

1) me semble incomplet :
Le discriminant peut être nul.

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 3 24-05-23 à 13:47

Pour 3-d)
I(x)=\huge{\dfrac{2}{(1-x)²}\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{x+1}{1-x} \right)^2t^2}} dt=\dfrac{2}{(1-x)(x+1)}\huge{\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\dfrac{x+1}{1-x}}{1+\left(\dfrac{x+1}{1-x} t\right)^2}dt}=\dfrac{2}{(x+1)(1-x)}\left[ Arctan(\dfrac{x+1}{1-x}t)\right]_{t=0}^{t->+\infty}=\dfrac{2}{1-x^2}\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{1-x^2}
Merci à tous

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 3 24-05-23 à 13:50

Bonjour
1) pour x=-4(sin())2
Ce discriminant est nul si [0,]
Merci à vous tous

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Integral dépandant d'un paramètre 3 24-05-23 à 14:15

Ton message de 13h50 ne va pas. Rectifie le.

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 3 24-05-23 à 14:32

Désolé

Citation :
1) pour x=-4(sin())2
Ce discriminant est nul si =k/k

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Integral dépandant d'un paramètre 3 24-05-23 à 16:43

Pour montrer que est bien définie sur D=]-1,1[×[0,], il faut démontrer que le dénominateur n'est pas nul quand x ]-1,1[ et [0,].
Modifie ton = k.
Et va un peu plus loin pour le cas où le discriminant est nul.

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 3 24-05-23 à 20:06

Il est clair que est bien définie sur x]-1,1[ car ne s'annule jamais sur x]-1,1[
Et x=-4(sin)2
*x s'annule en {0,}
Et x<0 si {/2}
C'est tout ce que je comprends

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 3 24-05-23 à 20:20

Bonjour
Pour 4-a)
Soit x≠0, Montrons l'expression demandé pour u :
\dfrac{1}{x}+\left(\dfrac{x^2-1}{x} \right)\left(\dfrac{1}{1-2xu+x^2} \right)=\dfrac{x-2x^2u+x^3+(x^2-1)x}{x\left( x-2x^2u+x^3\right)}=\dfrac{2(x-u)}{1-2xu+x^2}
b) f(x)=\huge{\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{x}d\theta+\int_{0}^{\pi}\left(\dfrac{x^2-1}{x} \right)\left(\dfrac{1}{1-2xcos(\theta)+x^2} \right)d\theta}
=\dfrac{\pi}{x}+\huge{\dfrac{x^2-1}{x}\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{(x-cos(\theta))^2+sin²(\theta)}d\theta}
Ensuite je bloque une indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Integral dépandant d'un paramètre 3 24-05-23 à 21:34

Toujours pour 1) :

Citation :
x<0 si {/2}
C'est plutôt
x<0 si ]-:[
Dans ce cas, le dénominateur est non nul.
Il faut regarder ce qui se passe quand = .

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 3 24-05-23 à 21:46

bonjour
Quand =±
x=0
donc l'équation admet un seul solution
x=2cos()/2=cos()
C'est à dire que x≠cos() dans [0,]

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Integral dépandant d'un paramètre 3 24-05-23 à 21:48

Si = , à quoi est égal cos() ?

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 3 24-05-23 à 21:52

Alors cos()=-1
Et (x,)=\dfrac{1}{1+2x+x²}=\dfrac{1}{(x+1)²}
Donc x]-1,1[ est bien vérifié
Merci

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 3 24-05-23 à 21:55

Et =0 -> cos()=1
Donc (x,)=\dfrac{1}{(1-x)^2}
Donc x]-1,1[ finalement

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Integral dépandant d'un paramètre 3 24-05-23 à 22:05

Ce n'est pas x]-1,1[ qui est vérifié.
C'est : comme x]-1,1[, on a le dénominateur (1-x)2 qui est bien non nul.

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 3 25-05-23 à 13:27

Bonjour
Et mes réponses de 2) à 4-b)
Merci beaucoup

Posté par
larrechre : Integral dépandant d'un paramètre 3 25-05-23 à 13:50

Bonjour,

4-b / C'est peut-être bestial, mais à part calculer l'intégrale

\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{(1-2x\cos\theta+x^2)}d\theta}

(ce qui n'est pas bien difficile) je ne vois pas ce qu'on peut faire.

Dans ce calcul, n'oublie pas que sur ]-1, 1[ , \dfrac{x+1}{x-1} est négatif

J'en reviens à la 1/. En irait-il de même sur [-1, 1]\times]0, \pi[ ?

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 3 25-05-23 à 19:39

Bonjour
Je suis désolé mais Je ne comprends pas bien votre indication

Citation :
Dans ce calcul, n'oublie pas que sur ]-1, 1[ , \dfrac{x+1}{x-1} est négatif

J'en reviens à la 1/. En irait-il de même sur [-1, 1]\times]0, \pi[ ?

Posté par
larrechre : Integral dépandant d'un paramètre 3 25-05-23 à 21:04

Commence par calculer l'intégrale et je t'expliquerai le pourquoi de ma remarque.

Pour le reste, oublie ma question, je ne veux pas te perturber.

Mon intervention se limite à la question 4-b/

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 3 25-05-23 à 22:58

Bonjour
Pour 4-b)
f(x)=\huge\int_{0}^{\pi}\dfrac{2(x-cos(\theta))}{1-2xcos(\theta)+x^2}d\theta=\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{x}d\theta +\left(\dfrac{x^2-1}{x} \right)\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{1-2xcos\theta+x^2} d\theta
=\huge\dfrac{\pi}{x}+\left(\dfrac{x^2-1}{x}\right)\int_{0}^{\pi}\phi(x,\theta)d\theta =\dfrac{\pi}{x}+\left(\dfrac{x²-1}{x} \right)\red {I(x)} =\dfrac{\pi}{x}+\left(\dfrac{x^2-1}{x} \right)\dfrac{\pi}{1-x^2}=\boxed{0}
Merci

Posté par
larrechre : Integral dépandant d'un paramètre 3 25-05-23 à 23:11

OK. Je n'avais pas vu que tu avais déjà calculé I(x). Mon histoire de signe n'avait pas lieu d'être.

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 3 26-05-23 à 15:28

Bonjour
Pour 5-a)
On a F est continue sur (x,)]-1,1[×[0,] en tant que composé et somme et produits des fonctions continue sur ce domaine
Et xF est dérivable par rapport à x sur ]-1,1[
Et on a x]-1,1[ \dfrac{dF(x,\theta)}{dx}=\dfrac{-2cos\theta+2x}{1-2xcos\theta+x^2}
Cette dérivé partielle est continue sur x]-1,1[×[0,]
Donc F est de classe C1 sur ]-1,1[  donc on dérive sous le signe de l'intégral
F'(x)=\huge\int_{0}^{\pi}\dfrac{-2cos\theta+2x}{1-2xcos\theta+x^2} d\theta
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 3 26-05-23 à 15:37

Citation :
b)Montrer que la fonction F est nulle sur ]-1,1[

On remarque que
F'(x)=f(x)
Et on a trouvé dans 4-b)
Que x]-1,1[:f(x)=0
Par suite x]-1,1[ \boxed{F'(x)=0}

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 3 27-05-23 à 10:45

Bonjour
Pour

Citation :

c)Donner la valeur de J=\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}ln(1-cos(\theta))d\theta

Une indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
AitOuglifre : Integral dépandant d'un paramètre 3 27-05-23 à 15:28

Calcule F(1)

Posté par
AitOuglifre : Integral dépandant d'un paramètre 3 27-05-23 à 15:29

Ou plutôt la limite….

Posté par
AitOuglifre : Integral dépandant d'un paramètre 3 27-05-23 à 15:37

L'idée est de montrer qu'on peut justifier une « évaluation » de F en 1(limite…? bref, réfléchis au sens) puis de montrer que ce truc vaut à la foi 0 et J+constante.

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 3 27-05-23 à 15:38

Bonjour
Je l'ai déjà fait mais je trouve pas ce qu'on veut
F(1)=\int_{0}^{\pi} ln(2-2cos(\theta))d\theta=\int_{0}^{\pi}\left(ln(2)+ln(1-cos(\theta) \right) d\theta
Merci

Posté par
AitOuglifre : Integral dépandant d'un paramètre 3 27-05-23 à 16:13

Benh si…
déjà ne pas écrire F(1) car a priori ça n'a pas de sens. Donc calculer plutôt la limite, penser à la prolongeabilité. Je vois par exemple que F et continue sur ]-1,1[ et que f est nulle sur cet intervalle. Donc si tu peux prouver que F est prolongeable alors tu sais quelle valeur à sa limite en 1. Et dans ce cas, le calcule que tu as fait donne \pi \ln(2)+J, et wolfram donne bien -\pi \ln(2)…

Posté par
AitOuglifre : Integral dépandant d'un paramètre 3 27-05-23 à 16:32

Je serais tenté d'utiliser la version faible du  
(où on ne suppose pas la continuité en 1, et tu en déduis ET la prolongeabilité ET la dérivabilité en 1....

Posté par
AitOuglifre : Integral dépandant d'un paramètre 3 27-05-23 à 16:34

AitOuglif @ 27-05-2023 à 16:32

Je serais tenté d'utiliser la version faible du  
(où on ne suppose pas la continuité en 1, et tu en déduis ET la prolongeabilité ET la dérivabilité en 1....


Ensuite, en déduire la justification du passage de la limite sous le signe intégral...

Posté par
Razesre : Integral dépandant d'un paramètre 3 27-05-23 à 23:26

Bonsoir,

Juste un complément, pour la  question 1, tu peux aussi remarquer que :  1-2x\cos\theta +x^2=\sin^2x+\cos^2x-2x\cos\theta +x^2=\sin^2x+(x-\cos x)^2

Cette expression est  \geqslant 0, tu peux facilement vérifier si elle s'annule.


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