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Integral dépandant d'un paramètre

Posté par
Mathes1 24-04-23 à 15:01

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
•Soit (x,y)*+× et
g(x,y)=\dfrac{sin(xy)}{x}e^{-x}
1-a) calculer \lim_{x \to 0+} g(x,y)
*On a (x,y)*+×:
\lim_{x\to 0+} g(x,y)=\lim_{x \to 0+} \dfrac{sin(xy)}{x} e^{-x}=1
Car (x,y)*+×:
\lim_{x\to 0+}sin(xy)/x=1
b) montrer que x≥1 |g(x,y)|≤e^{-x}
*On a x≥1 et y
1/x≤1 et |\dfrac{sin(xy)}{x}|\leq 1
D'où x≥1 et y: |g(x,y)|≤e-x
c) En déduire que la fonction
x-->g(x,y) est intégrable sur [0,+[
Puisque la fonction x-->g(x,y) est continue sur R+*×R et
x≥1 :|g(x,y)|≤e-x=g(x) qui est une fonction positive continue et intégrable sur R*+×R
D'où le résultat
2) Montrer que g est par rapport à y sur *+ × et calculer \dfrac{dg(x,y)}{dy}
(C'est une dérivée partielle)
*On a g est dérivable et admet une dérivée partielle par rapport à y car la fonction y---> sin(xy) est dérivable sur R*+×R (c'est une fonction usuelles)
Donc la fonction y---> g(x,y) est bien dérivable sur R*+×R
Et : (x,y)*+×
\dfrac{dg(x,y)}{dy}=cos(xy)e^{-x}
3) soit :I(y)=\int_{0}^{+\infty} g(x,y) dx
a) Montrer que I est de classe C1 sur
On a : (x,y)*+×: \dfrac{dg}{dy}(x,y)=cos(xy)e^{-x}
On a la fonction y---> dg(x,y)/dy est continue sur R*+×R en tant que composé et produits de deux fonctions continue d'où I est de classe C1 sur R
autre méthode :
*On a (x≥1)(y)
|g(x,y)|≤e-x=g(x)
Avec g positive continue par morceaux intégrable sur R*+×R donc I existe et continue sur y
* On a g admet une dérivée partielle dg/dy continue sur R*+×R et il existe une fonction h definie, continue par morceaux et intégrable sur R*+ tel que
(x,y)R*+×R :|\dfrac{dg}{dy}(x,y)|\leq e^{-x}
Alors I est de classe C1 sur R
b) Determiner I'(y)
*I'(y)=\int_{0}^{+\infty}\dfrac{dg(x,y)}{dy} dx=\int_{0}^{+\infty} cos(xy)e^{-x} dx
c) Par intégration par parties , montrer que :
I'(y)=\frac{1}{1+y²}
On a par double intégration par parties :
I'(y)=[e^{-x}\dfrac{sin(xy)}{y}-\dfrac{cos(xy)}{y²}e^{-x}]_{x=0}^{x->+\infty} -\dfrac{1}{y²}I'(y)
I'(y)(1+1/y2)=1/y2
D'où I'(y)=1/(1+y2)
d) En déduire que :
y:\int_{0}^{+\infty}\dfrac{sin(xy)}{x} e^{-x} dx=Arctan(y)
On a d'après la question précédente c)
I'(y)=[\dfrac{sin(xy)}{y} e^{-x}]_{0}^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}\dfrac{sin(xy)}{y} e^{-x} dx=\int_{0}^{+\infty}\dfrac{sin(xy)}{y} e^{-x} dx=I'(y)
*Une indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance
e) Calculer la valeur suivant :
A=\int_{0}^{+\infty} \dfrac{sin(x)}{x} e^{-x} dx
•A=\int_{0}^{+\infty} \dfrac{sin(x*1)}{x}e^{-x} dx=arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}
Merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Integral dépandant d'un paramètre 24-04-23 à 15:09

salut

que c'est difficilement lisible avec des sauts de ligne inutiles et qui rallonge le post et les réponses au milieu des questions

il serait bien d'apprendre à donner l'énoncé puis ensuite les réponses
et avec des espaces dans les expressions pour les rendre pluslisibles ...

Mathes1 @ 24-04-2023 à 15:01


\lim_{x\to 0+} g(x,y)=\lim_{x \to 0+} \dfrac{sin(xy)}{x} e^{-x}=1
Car (x,y)*+×: \lim_{x\to 0+}sin(xy)/x=1
est faux

que vaut g(x, 0) ? et si y \ne 0 alors \dfrac {\sin (xy)} x = y \dfrac {\sin (xy)} {xy}

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 24-04-23 à 16:47

Bonjour
1-a)si y=0:g(x,0)=0
Et si y≠0 et x*+ :
\lim_{x\to 0+} g(x,y)=\lim_{x\to 0+}y \dfrac{sin(xy)}{xy}e^{-x}=\red{y}
•\lim_{x\to 0+} g(x,y)=\begin{cases} 0 , & \text{si } y=0\\y, & \text{si } y\neq0 \end{cases}

Posté par
carpediemre : Integral dépandant d'un paramètre 24-04-23 à 19:12

donc dans tous les cas lim g(x, y) = ... ?

si I'(y) = 1/(1 + y^2) alors I(y) = arctan y + k où k est une constante

il faut donc montrer que k = 0 ...

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 24-04-23 à 20:09

Bonjour
Donc \lim_{x \to 0+} g(x,y)=0
y
•d) \int_{0}^{+\infty}\dfrac{sin(xy)}{x} e^{-x} dx=I(y)
On a I'(y)=\dfrac{1}{1+y²}
Donc I(y)=arctan(y)+k/k
On a I(0)=\int_{0}^{+\infty}g(x,0) dx=0
Donc k=0
D'où : \int_{0}^{+\infty}\dfrac{sin(xy)}{x} e^{-x} dx=arctan(y)
Merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Integral dépandant d'un paramètre 24-04-23 à 20:12

de rien

Posté par
Mathes1re : Integral dépandant d'un paramètre 24-04-23 à 20:13

La dernière question est juste ?
Merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Integral dépandant d'un paramètre 24-04-23 à 20:24

oui ...


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