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Integral double

Posté par
Mathes1 24-04-23 à 16:33

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
A) Soit l'ensemble :
D={(x,y)²:y≥0 ,(x-3)2+y2≤9 et x2+(y-3)2≥9}
1) En utilisant les coordonnées polaires , montrer que :
D={(r,)2:r≥0,0≤≤/4 et 6sin()≤r≤6cos()}
2) Calculer l'aire du domaine D.
3) Calculer K=\int \int_D (x-y)² dxdy
Integral double
B) Soit :
∆={(x,y)2:0≤y≤1 et arctan(y)≤x≤/4}
1) Montrer que :∆={(x,y)2:0≤x/4 et 0≤y≤tan(x)}
2) Calculer L=\int_{0}^{1}\left(\int_{arctan(y)}^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{dx}{cos(x)} \right) dy
--------------------------------------
A)
1) les coordonnées polaires :
x=rcos() ,y=rsin()
On r r≥0 (c'est un rayon toujours positive)
On a ( r,)2 :
(rcos()-3)2 +(rsin())2≤9
Et (rcos())2 +(rsin()-3)2≥9
Donc (r,)2
r2cos2 -6 rcos+9+r2sin2 ≤9
r2 cos2()+r2 sin2-6 rsin+9≥9
Donc (r,)2
r2-6r cos()≤0
r2-6rsin≥0
D'où (r,)2
r(r-6cos)≤0 et r(r-6sin()≥0
or r≥0 donc
r≤6cos et r≥6sin
D'où (r,)2:
6sin≤r≤6cos()
Comment montrer que 0≤≤/4 une indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance
2)
\mu(D)=\int \int_D rdrd\theta =\int_{6sin\theta}^{6cos(\theta)}\left(\int_{0}^{pi/4} d\theta\right) rdr=\int_{6sin\theta}^{6cos(\theta)} \dfrac{\pi}{4}rdr =[\dfrac{\pi}{4}\dfrac{r²}{2}]_{6sin\theta}^{6cos(\theta)} =\dfrac{\pi}{8}\left( 36(cos²(\theta)-sin²(\theta))\right)
3) K=\int_{6sin\theta}^{6cos(\theta)}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (rcos\theta-r sin\theta)² rdrd\theta=\int_{6sin\theta}^{6cos(\theta)}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}( r²cos²\theta -2r²cos\theta sin\theta +r²sin²\theta )rdrd\theta
=\int_{6sin\theta}^{6cos(\theta)}\left(\int_{0}^{\pi/4} (r²-2r²cos(\theta)sin(\theta) )d\theta \right) rdr=\int_{6sin\theta}^{6cos(\theta)} \left(\dfrac{\pi}{4} -\dfrac{1}{2}\right)\left( r^3\right) dr=\left(\dfrac{\pi}{4} -\dfrac{1}{2}\right)\left[\dfrac{1}{4} r^4\right]_{6sin\theta}^{6cos\theta}=
=\left(\dfrac{\pi}{4} -\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{1}{4}×6^4\left( cos^4\theta-sin^4\theta\right)
Merci beaucoup

Posté par
larrechre : Integral double 24-04-23 à 18:06

Bonjour,

As-tu regardé sur la figure à quoi correspondait le domaine d'intégration ?

Ensuite, dans l'intégrale tu as oublié le (x-y)2.

Posté par
Mathes1re : Integral double 24-04-23 à 18:28

Bonjour
Pour A)
1) j'arrive pas à montrer que 0≤≤/4
Par calcule numérique mais graphiquement on peut le faire
Integral double
On remarque graphiquement que est entre 0 et /4
Mais est ce que c'est suffisant.
Pour A-2) c'est l'aire du domaine D
C'est une surface \mu(D)=\int \int dxdy
•j'ai pas oublier (x-y)2  dans 3) j'ai remplacer x et y par rcos() et rsin()
Merci beaucoup

Posté par
larrechre : Integral double 24-04-23 à 18:39

Si tu appelles A le point (6,0) et B le point d'intersection des 2 demi cercles, tu as de façon évidente \theta_A\leq\theta\leq\theta_B

Ensuite, excuse-moi, j'avais lu en diagonale.. .Mais il faut que du intègres d'abord par rapport à r de 6\sin \theta à 6\cos \theta, puis par rapport à \theta de   0 à   \pi/4

Posté par
larrechre : Integral double 24-04-23 à 18:40

point d'intersection autre que l'origine, évidemment.

Posté par
Mathes1re : Integral double 24-04-23 à 19:10

Bonjour
D'après le théorème de fubini généralisé
Pour A-2)
\mu(D)=\int_{0}^{\pi/4}(\int_{6sin(\theta)}^{6cos(\theta)} rdr) d\theta=\int_{0}^{\pi/4}\left[ \dfrac{r^2}{2}\right]_{6sin\theta}^{6cos\theta} d\theta=\int_{0}^{\pi/4}18(cos²(\theta)-sin²(\theta) ) d\theta=18\left[ \dfrac{sin(2\theta)}{2}\right]_{0}^{\pi/4}=18(\dfrac{1}{2})=9
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1re : Integral double 24-04-23 à 19:47

A-3)Pour K:
K=\int_{6sin\theta}^{6cos(\theta)}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (rcos\theta-r sin\theta)² rdrd\theta=\int_{6sin(\theta)}^{6cos(\theta)}\int_{0}^{\pi/4} (1-2cos(\theta) sin(\theta))r^3drd\theta
=\int_{0}^{\pi/4}\left( \int_{6sin(\theta)}^{6cos(\theta)}r^3(1-2cos\theta sin\theta)dr\right)d\theta=\int_{0}^{\pi/4}\left[ \dfrac{r^4}{4}\left(1-2cos\theta sin\theta \right)\right]_{6sin\theta}^{6cos\theta}=\int_{0}^{\pi/4}\dfrac{6^4}{4}(cos^4\theta -sin^4(\theta))(1-2cos\theta sin\theta) d\theta=\dfrac{6^4}{4}\int_{0}^{\pi/4} \left( cos(2\theta)-sin(2\theta) cos(2\theta)\right) d\theta =\dfrac{6^4}{4} \left[\dfrac{sin(2\theta)}{2}-\dfrac{sin²(2\theta)}{4}\right]_{0}^{\pi/4}=\dfrac{6^4}{4}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4} \right)

Merci beaucoup

Posté par
Pirhore : Integral double 24-04-23 à 20:04

Bonjour,

en attendant le retour delarrech que je salue, 9 est juste mais tu pourrais simplifier la réponse de A3

Posté par
Mathes1re : Integral double 24-04-23 à 20:12

Bonjour
Donc K=81

Posté par
Pirhore : Integral double 24-04-23 à 20:14

oui

as-tu trouvé d'où "sort" /4?

Posté par
Mathes1re : Integral double 24-04-23 à 20:18

Graphiquement dans la zone hachuré du domaine D Mais numériquement je ne sais pas comment montrer

Posté par
Pirhore : Integral double 24-04-23 à 20:25

il faut résoudre le système , ce qui te donne les coordonnées du point d'intersection

\begin{cases} \large (x-3)^2+y^2=9\\ \, x^2+(y-3)^2=9& \end{cases}

et ensuite tu cherches le \theta correspondant

Posté par
Mathes1re : Integral double 24-04-23 à 20:36

Bonjour
\begin{cases} \large (x-3)^2+y^2=9\\ \, x^2+(y-3)^2=9& \end{cases}
<=>
\begin{cases} \large (x-3)^2+y^2=9\\ \, x^2+(y-3)^2=9& \end{cases}<=> (x_1,y_1)=(0,0);(x_2,y_2)=(3,3)
Le coordonner (0,0) correspond à =0
Et (3,3) c'est le centre des deux disque
Correspond à =/4
Merci beaucoup

Posté par
Pirhore : Integral double 24-04-23 à 20:58

oui le point (3;3) \in à  la bissectrice intérieure de xOy

on pourrait aussi écrire cos(\theta)=sin(\theta) , soit tan(\theta)=1,

\theta =\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\,  k\in \mathbb{Z}  ; dans le 1er quadrant k=0

Posté par
Mathes1re : Integral double 24-04-23 à 21:10

Pour B) 1)
On a (x,y)2 arctan(y)≤x≤/4
Et 0≤y≤1 ,
Puisque y--> arctan(y) est strictement croissante sur
Donc arctan (0)=0≤arctan(y)≤arctan(1)=/4
D'où 0≤x≤/4

•On a 0≤y≤1 et arctan(y)≤x≤/4
La fonction x-->tan(x) est croissante sur
Donc tan(arctan(y))≤tan(x)≤tan(pi/4)=1
D'où 0≤y≤tan(x)
3) on réécrit L
L=\int_{0}^{\pi/4}\left(\int_{0}^{tan(x)}\dfrac{dy}{cos(x)} \right)dx=\int_{0}^{\pi/4}\dfrac{tan(x)}{cos(x)} dx=\int_{0}^{\pi/4}\dfrac{sin(x)}{cos(x)²} dx=\left[ \dfrac{1}{cos(x)}\right]_{0}^{\pi/4} =\sqrt{2}-1
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1re : Integral double 24-04-23 à 21:12

Désolé c'est la 2nd question et non 3

Posté par
Pirhore : Integral double 25-04-23 à 10:30

L est juste

Posté par
larrechre : Integral double 25-04-23 à 20:56

Bonsoir Pirho, merci d'avoir pris le relais

Posté par
Pirhore : Integral double 25-04-23 à 21:08

Bonsoir larrech

de rien ; ça faisait longtemps que nous ne nous étions plus croisés sur l'île

Posté par
Mathes1re : Integral double 25-04-23 à 22:19

Bonjour
Merci à tous
Bonne soirée

Posté par
Pirhore : Integral double 25-04-23 à 22:26

de rien


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