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Integral exp(x)/(exp(2x)-1)

Posté par
HouseMusic 04-01-23 à 19:46

Bonjour,

Quelqu'un pourrait m'aider à résoudre cette integrale généralisée :

\int_{1}^{+\infty }{\frac{e^{x}}{e^{2x}-1}dx}

Procéder par partie me semble assez long pour cette intégrale, avez vous un autre moyen ?

Merci pour votre aide les collègues.

Posté par
Zormuchere : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 04-01-23 à 20:04

Salut, en trichant un peu, on peut trouver une réponse jolie mais relevant pratiquement du par-coeur : c'est à peu de choses près la dérivée de arcth :

Je ne vois pas comment le faire autrement qu'en connaissant par coeur la formule, ou en faisant des IPP si toutefois ça marche (certainement mais je ne me donnerai pas la peine d'essayer, je te laisse le plaisir)

Posté par
carpediemre : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 04-01-23 à 20:07

salut

décomposition en éléments simples sachant que e^{2x} - 1 = \\ ... (identité remarquable)

Posté par
carpediemre : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 04-01-23 à 20:07

carpediem @ 04-01-2023 à 20:07

salut

décomposition en éléments simples sachant que e^{2x} - 1 =  ... (identité remarquable)

Posté par
HouseMusicre : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 04-01-23 à 20:19

Salut merci pour ton aide !

Je ne vois pas comment on pourrait adapter cette intégrale à la dérivée de arcth sachant qu'il y a un e^{x} au numérateur dans l'intégrale.

En tout cas la réponse à trouver est de la forme (j'ai fait calculer sur dcode) :

I=\frac{1}{2}ln(\frac{e+1}{e-1})

Il ne semble pas trop avoir de lien avec arcth

Posté par
carpediemre : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 04-01-23 à 20:22

as-tu :

a/ décomposer en éléments simples  ?

b/ calculer l'intégrale sur l'intervalle [1, m] ?

c/ faire tendre m vers +oo?


parce que ton résultat vient immédiatement ...

Posté par
carpediemre : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 04-01-23 à 20:24

PS : et heureusement qu'il y a le facteur exp (x) au numérateur !!!

vu que c'est la dérivée de e^x 1 ...

Posté par
HouseMusicre : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 04-01-23 à 20:30

Oui merci pour l'indication et donc j'obtiens la décomposition suivante :

mais il faut procéder encore à un changement de variable ?

Posté par
HouseMusicre : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 04-01-23 à 20:31

la décomposition en éléments simples

** image supprimée **

* modération > Image effacée. Merci d'utiliser les outils mis à ta disposition pour écrire les formules mathématiques  > HouseMusic,    lire Q10 [lien]*

Posté par
HouseMusicre : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 04-01-23 à 21:00

Voici la décomposition en éléments simples :

\frac{1}{2} \int^{+\infty }_{1} \frac{1}{{}e^{x}-1} dx\ +\ \frac{1}{2} \int^{+\infty }_{1} \frac{1}{e^{x}+1} dx


Mais il faut encore procéder à un changement de variable ?

Posté par
carpediemre : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 04-01-23 à 21:04

il manque le facteur e^x au numérateur et ensuite

carpediem @ 04-01-2023 à 20:24

PS : et heureusement qu'il y a le facteur exp (x) au numérateur !!!

vu que c'est la dérivée de e^x 1 ...

et revoir à 20h22 !!!

Posté par
carpediemre : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 04-01-23 à 21:07

HouseMusic @ 04-01-2023 à 21:00

Voici la  non une mais pas la bonne !! décomposition en éléments simples :

\frac{1}{2} \int^{+\infty }_{1} \frac{1}{{}e^{x}-1} dx\ +\ \frac{1}{2} \int^{+\infty }_{1} \frac{1}{e^{x}+1} dx


Mais il faut encore procéder à un changement de variable ?  inutile

Posté par
Razesre : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 04-01-23 à 22:31

Bonsoir,

Le changement de variable marche bien. Mais il y a une petite astuce à utiliser sans changement de variable.

\dfrac{1}{e^x+1}=\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}; facile à intégrer, de même pour l'autre terme.

Posté par
Razesre : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 04-01-23 à 22:34

Je pense que je suis aller trop vite, j'aurais du laisser carpediem terminer son idée. Désolé.

Posté par
lafol Moderateurre : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 05-01-23 à 14:52

Bonjour
une remarque en passant : j'évite, dans des séries ou intégrales impropres, de découper les sommes, car il arrive souvent que la somme converge, mais aucun des termes de la somme ... laisser les deux morceaux de la décomposition ensemble jusqu'au calcul de limite est parfois nécessaire, alors dans le doute .... une seule intégrale qui englobe tout (en plus c'est plus vite écrit !)

Posté par
lafol Moderateurre : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 05-01-23 à 14:53

Sinon, c'est moi ou c'est presque de la forme \dfrac{u'}{u^2-1} ?

Posté par
lafol Moderateurre : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 05-01-23 à 14:56

Dernière petite chose et je m'éclipse : on résout un problème , une équation, on calcule une intégrale, un DL....

Posté par
Zormuchere : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 05-01-23 à 15:50

lafol @ 05-01-2023 à 14:53

Sinon, c'est moi ou c'est presque de la forme \dfrac{u'}{u^2-1} ?

C'est là qu'intervient la fonction arctanh, néanmoins au prix de connaître par coeur sa dérivée (que je n'ai jamais connue dans mes études merci WolframAlpha)

Posté par
Ulmierere : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 05-01-23 à 16:49

Si je puis me permettre un conseil, il me semble plus sage de d'abord procéder au changment de variable u = e^x, et ensuite seulement décomposer 1/(u²-1) en une différence de deux fractions rationnelles très simples à primitiver sur [e, R] avec R > e.

Ensuite, il ne restera plus qu'à passer à la limite R\to\infty.

Posté par
HouseMusicre : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 05-01-23 à 20:00

Merci les gars pour votre aide.

Si je me base sur ce que disais carpediem :

1/ On repère l'identité remarquable au dénominateur

2/ On procède à un changement de variable : t=e^{x}

3/ D'où dt=e^{x}dx

4/ On obtient l'intégrale suivante : \int_{1}^{+\infty }{\frac{1}{(t-1)(t+1)}dt}

5/ Décomposition en éléments simples avec a=\frac{1}{2} et b=-\frac{1}{2}

6/ On obtient : \frac{1}{2}\ln \left(\frac{e+1}{e-1} \right) que l'on sait intégrer facilement avec \ln \left|x \right|

7/ Finalement l'intégrale vaut : \frac{1}{2}\ln \left(\frac{e+1}{e-1} \right)

Voilà j'espère que ça aidera d'autres gens

Posté par
carpediemre : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 05-01-23 à 20:33

le changement de variable n'est qu'une facilité d'écriture : je l'évite pour reconnaitre des formules génériques derrière des expressions ...

\dfrac 1 {e^{2x} - 1} = \dfrac 1 2 \left( \dfrac 1 {e^x - 1} - \dfrac 1 {e^x + 1} \right)

et il suffit de multiplier par e^x pour avoir l'intégrande

on reconnait alors u'/u dans les deux cas et par intégration on obtient le résultat donnée à 20h19 + un reste dont on montre qu'il tend vers 0 quand m tend vers +oo (manipulation algébrique immédiate de la fonction ln)
(voir plus haut ce qu'est mon m)

et effectivement en tenant compte de la remarque de lafol ... ou pas si on intègre sur l'intervalle [0, m] ...


on peut aussi utiliser la décomposition de 21h00 avec la remarque de Razes : il eest alors aisé de montrer que le reste tend vers 0 mais il faut manipuler un peu le terme principal pour arriver au résultat demandé (à cause des moins d'intégration)


après si on connait les fonctions hyperboliques et réciproques ... alors il n'y a plus de pb ...

Posté par
Chamfortre : Integral exp(x)/(exp(2x)-1) 06-01-23 à 10:53

Bonjour,

e^x=X                     e^xdx=dX    dx=dX/X

(X/(X^2-1))dX/X=dX/(X^2-1)

x-->0  ,   X--->1
x---->inf  X---->inf

stc


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