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Intégral par le Théorème de Résidus 1

Posté par
Mathes1 29-10-23 à 11:44

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
2) Évaluer l'intégrale (Théorème de Résidus) suivants:
J_1=\int_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{2+sin(\theta)} d\theta
Alors je propose :
Pour évaluer l'intégrale J_1 = \int_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{2+\sin(\theta)} d\theta en utilisant le théorème des résidus, on a:

1. On identifie les pôles de la fonction \dfrac{1}{2+\sin(\theta)}. Les pôles se produisent lorsque le dénominateur s'annule, c'est-à-dire lorsque \sin(\theta) = -2. Cela se produit lorsque \theta = \arcsin(-2). Cependant, \sin(\theta) varie dans l'intervalle [-1, 1], donc il n'y a pas de solution réelle pour \arcsin(-2). Cela signifie qu'il n'y a pas de pôles à l'intérieur du contour d'intégration.

2.on  applique le théorème des résidus modifié, qui stipule que si une fonction analytique est définie à l'intérieur d'un contour fermé et ne contient pas de pôles à l'intérieur de ce contour, alors l'intégrale le long du contour est nulle. Dans ce cas, puisqu'il n'y a pas de pôles à l'intérieur du contour [0, 2π], l'intégrale J_1 est nulle.

Donc, J_1 = 0.
Merci beaucoup d'avance !

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 29-10-23 à 12:10

Bonjour,

J_1= \dfrac12 \int_0^{2\pi}\dfrac1{1+0,5 sin(\theta)} d\d\theta

Posté par
Ulmierere : Intégral par le Théorème de Résidus 1 29-10-23 à 12:48

Pour tout \theta réel, 2 + \sin\theta \leqslant 3, donc J_1 \geqslant \dfrac{2\pi}{3} > 0. Ton résultat n'a pas de sens

Par contre, le 2+\sin complexe peut s'annuler et est même non bornée, vue comme fonction de la variable complexe.

\sin(re^{it}) = Im(e^{ir\cos t - r\sin t} ) = e^{-r\sin t}\sin(r\cos t)

Posté par
Ulmierere : Intégral par le Théorème de Résidus 1 29-10-23 à 13:33

Voilà que je me contredis à mon tour
Mon calcul n'est vrai que pour r = 1.

Pour r quelconque, ce n'est plus la partie imaginaire et du coup

\begin{array}{lcl} \\ 2i\sin(re^{it}) &=& e^{-r\sin t}(\cos(r\cos t) + i\sin(r\cos t)) - e^{r\sin t}(\cos(r\cos t) - i\sin(r\cos t))\\ \\ &=& -2\sinh(r\sin t)\cos(r\cos t) + i2\cosh(r\sin t)\sin(r\cos t) \\ \end{array}

donc 2 + \sin(re^{it}) = 2\left[1 + \cosh(r\sin t)\sin(r\cos t) + i\sinh(r\sin t)\cos(r\cos t)\right]

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 29-10-23 à 14:57

On peut aussi voir les choses ainsi :

Comme l'angle θ varie entre 0 et 2π, on le prend comme l'argument de l'affixe z d'un point situé sur le cercle unité C centré à l'origine :

z = e^{i\theta} , 0 \le \theta < 2\pi

\sin(\theta)=\dfrac{z - z^{-1}}{2i}

L'intégrale  est alors l'intégrale de contour d'une fonction de z sur le cercle C parcouru dans le sens direct.

\oint\limits_{C}\dfrac 1 {z^2+iz-1}dz

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 29-10-23 à 15:07

autre chose : J1 ne vaut pas 0

Posté par
Mathes1re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 30-10-23 à 14:02

Bonjour
Je trouve que :
J_1=\int_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{2+sin(\theta)}d\theta=\int_{0}^{2\pi}\dfrac{2}{4+i\left(\dfrac{1}{z}-z\right)} dz
Je trouve pas votre formule
Merci beaucoup

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 30-10-23 à 16:34


je pense que vous avez oublié que :

z = e^{i\theta}   , donc,     dz=i e^{i\theta} d\theta =izd\theta

donc,

d\theta =\dfrac{dz}{iz}

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 30-10-23 à 16:46

j'ai également une erreur de recopie : au numérateur c'est 4iz et non iz.
Je vous prie de bien vouloir m'excuser.

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 30-10-23 à 16:53

et le numérateur vaut 2. (sorry, je ne sais pas recopié ce que je fais).

Posté par
Mathes1re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 30-10-23 à 17:52

Bonjour
Oui effectivement je suis désolé pour cette erreur,
Et oui je trouve :
\int_{1}^{1} \dfrac{2}{4iz+z²-1}
Et les bornes sont étrange

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 30-10-23 à 18:53

Il ne s'agit pas d'un changement de variable classique, vous êtes dans les complexes.  Vous faites l'intégrale sur la contour  C qui est le cercle unité parcouru  le sens direct et par la méthode des résidus.


\oint\limits_{C}f(z)\mathrm{dz}=2i\pi\sum_1 ^n Res_f(z_i)

avec zi les pôles de f(z).

Posté par
Mathes1re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 30-10-23 à 20:53

Bonjour
Je trouve :
*Res(J_1,(-2-\sqrt{3})i)=\dfrac{\sqrt 3}{3}i
*Res(J_1,(-2+\sqrt 3)i)=-\dfrac{\sqrt 3}{3}i
Donc on choisit le Complexe Positif Et pourquoi merci beaucoup

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 30-10-23 à 21:38


remarques :
1)ce n'est pas Res(J1, ..) mais Res(f(z),..)
2)il faut additionner les résidus et multiplier par 2i\pi)
3) vous avez oublié une chose sans doute écrite dans votre cours.

Je m'explique :
Vous avez bien trouvé les 2 pôles de f(z) à savoir :

p_1=-2-i\sqrt{3}    et   p_2=-2+i\sqrt{3}

donc :

f(z)=\dfrac2{(z-p_1)(z-p_2)}

petit rappel : les résidus pris en compte pour la résolution par la méthode des résidus sont ceux qui sont dans le cercle unité.
Alors p_1 et p_2 sont où par rapport au cercle unité?
Vérifiez et revoyez votre calcul ( et votre cours aussi).

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 30-10-23 à 21:54

erratum :  p_1=-2-\sqrt{3}  et    p_2=-2+\sqrt{3} , il n'y as pas de i bien sûr. (encore une erreur de copie, sorry)

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 30-10-23 à 21:57

annule et remplace,je ne suis pas en forme ce soir.

p_1=i(-2-\sqrt{3})    et     p_2=i(-2+\sqrt{3})

Posté par
Mathes1re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 30-10-23 à 22:07

Bonjour
D'abord c'est

Citation :
\red{p_1=(-2-\sqrt{3})i} \\et   p_2=\red{(-2+\sqrt{3})i}

p1 et p2 appartient au cercle unité [0,2π]
Merci

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 30-10-23 à 22:12

vous êtes sûr, faites un dessin.

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 30-10-23 à 22:13

autre chose: le Contour est le cercle unité du plan complexe.

Posté par
Mathes1re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 31-10-23 à 18:34

Bonjour
L'intégrale J1 est bien nulle
Car sa primitive par la méthode usuelle est : \dfrac{2}{\sqrt 3}arctan\left(\dfrac{2}{\sqrt 3} tan\left(\dfrac{x}{2} \right)+\dfrac{1}{\sqrt 3}\right)
On remplace par 2\pi et 0 on trouve 0 .
Donc les deux résidus sont inclus
Merci

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 31-10-23 à 20:03

Un des deux pôles n'est pas à l'intérieur du contour C.

vos 2 pôles sont des imaginaires purs.
Dans le plan complexe, la partie réelle est sur l'axe des x et la partie sur l'axe des y.

Faites le plan tracé le cercle et placez les pôles.

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 31-10-23 à 20:38

autre chose; je maintiens que J1 ne vaut pas 0.

Pouvez-vous me faire part de la méthode usuelle que vous avez utilisez et comment vous avez conduit le calcul pour trouver votre résultat.

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 31-10-23 à 20:39

Dans le plan complexe, la partie réelle est sur l'axe des x et la partie imaginaire sur l'axe des y ( axe i)

Posté par
Mathes1re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 31-10-23 à 20:57

Bonjour
Intégral par le Théorème de Résidus 1
la méthode utilisé
Merci

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 31-10-23 à 21:04

Oui c'est cela.
le contour C est  le cercle unité C centré à l'origine. Donc le pôle -2-\sqrt{3} ne se trouve pas à l'intérieur de C : êtes-vous d'accord?

Posté par
Mathes1re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 31-10-23 à 21:11

Bonjour
C'est parce que entre 0 et 1 le cercle de rayon 1 maximum
Et la méthode usuelle qui donne 0?
Merci

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 31-10-23 à 21:24

quelles sont les bornes de la méthode usuelle ?

Posté par
Mathes1re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 31-10-23 à 21:27

Bonsoir
Entre 0 et 2π ou ça change
Je me doute ici
S'il vous plaît est ce que cette justification est juste

Citation :
C'est parce que entre 0 et 1 le cercle de rayon 1 maximum

Merci

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 31-10-23 à 21:31

dans la méthode usuelle ( dont vous donnez le résultat qui est exacte il n'y a pas de borne définie) quand vous faites le changement de variable t= tg(\dfrac{\theta}{2}) les nouvelles bornes d'intégrations sont lesquelles?
On ne peut pas trouver la même car on intègre sur intervalle différent.

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 31-10-23 à 21:33

On ne peut pas trouver la même chose car on intègre sur intervalle différent de la méthode que vous appelez usuelle.

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 31-10-23 à 21:34

Finalement combien trouvez-vous pour J1?

Posté par
Mathes1re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 31-10-23 à 21:40

Bonjour

Citation :
C'est parce que entre 0 et 1 le cercle de rayon 1 maximum

Oui c'est totalement juste
Finalement J1=\dfrac{2\sqrt 3}{3}\pi
Merci

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 31-10-23 à 21:42

vous dites C'est parce que entre 0 et 1 le cercle de rayon 1 maximum .

C'est mal dit mais je pense que vous avez compris. Les pôles à prendre en compte doivent se trouver à l'intérieur du cercle de rayon 1 dont le centre est (0,0).

Posté par
phyelec78re : Intégral par le Théorème de Résidus 1 31-10-23 à 22:05

oui, je trouve le même résultat que vous pour J1.


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