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intégrale x²exp(-x²/2)
Bonjour,
je n'arrive pas du tout a intégrer x²exp(-x²/2) , je sais qu'il faut faire une intégration par partie mais il y'a toujours un moment ou je bloque
J'ai d'abord pensé qu'il fallait utilisé la méthode du 1 devant le calcul mais ça ne marche pas..
Tout aide serait la bienvenue !
Merci d'avance
On ne peut pas exprimer une primitive de f(x) = x².exp(-x²/2) par une somme finie de fonctions élémentaires.
On peut le faire avec une somme d'un nombre infini de termes ... en developpant e^-(x²/2) en série.
Ou on peut le faire en utilisant une fonction spéciale (erf())
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S x²exp(-x²/2) dx
Poser x.exp(-x²/2) dx = dv ---> v = - exp(-x²/2)
et poser x = u --> dx = du
S x²exp(-x²/2) dx = -x.exp(-x²/2) + S exp(-x²/2) dx
S x²exp(-x²/2) dx = -x.exp(-x²/2) + Racinecarrée(Pi/2) * erf(x/V2)
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Sauf distraction. 
Merci de votre réponse,
je ne suis pas sur de comprendre votre méthode,
mon prof a fait :
x² exp(-x²/2) dx = [-xexp(-x²/2)]--1exp(-x²/2) dx mais je ne vois comment il est arrivé à ça. Il a fait comme vous en posant u=x et v'=xexp(-x²/2) ?
Il a fait comme vous en posant u=x et v'=xexp(-x²/2) ?
ben oui,
J'arrive d'ailleurs aussi à ce résultat ... mais j'ai poursuivi un peu plus loin.
d(uv) = u.dv + v du
u dv = d(uv) - v du
S u dv = S d(uv) - S v du
S u dv = uv - S v du
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S x²exp(-x²/2) dx
En posant :
x.exp(-x²/2) dx = dv et en posant poser x = u
On a : S x²exp(-x²/2) dx = S u dv
Et donc S x²exp(-x²/2) dx = u.v - S v du
Or, de x.exp(-x²/2) dx = dv, on trouve facilement : v = - exp(-x²/2)
et de x = u, on a directement du = dv
--> S x²exp(-x²/2) dx = x * (-exp(-x²/2)) - S (- exp(-x²/2)) dx
S x²exp(-x²/2) dx = -x.exp(-x²/2) + S (exp(-x²/2)) dx
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Mais il reste S (exp(-x²/2)) dx ... qui ne peut s'exprimer par une somme finie de fonctions élémentaires.
Une des manières de passer outre à cela est d'utiliser la fonction spéciale erf().
Sauf distraction.
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