Bonjour nassoufa_02

Indication : utilise le théorème de Stone-Weierstrass.

Kaiser

Re banjour Kaiser ,

on a pas vu ce théorème, mais que dit t il, peut être que je le connais sous un autre nom .. (je suis en L2 math)

Merci

j'ai vu sur Wikipédia ,

Jamais vu

C'est le théorème selon lequel toute fonction continue sur un segment est limite uniforme d'une suite de fonction polynômiales mais finalement je me dit qu'il y a peut-être plus simple.

Kaiser

Ah .. je suis preuneuse alors .

OK, donc y'a plus simple !

Kaiser

Attention : j'ai simplement dit qu'il y avait peut-être plus simple et non pas que j'avais trouvé plus simple. nuance !

Kaiser

mmm
je me doute pas que tu peux en trouver tout de même lol

Bonjour,

kaiser celui que tu cites c'est pas plutot Weierstrass tout court ?

Pour ma part, en prépa, on l'appelait seulement weierstrass tout court et puis en L3 et en M1, on nous disait stone-weierstrass.
Ce n'est que récemment que j'ai appris que ce théorème de Stone-Weierstrass est en fait beaucoup plus puissant que le weierstrass tout court (qui est en fait un cas particulier).
Tout ça pour dire que j'en sais rien.
Non, en fait, finalement je pencherais plus pour Weierstrass tout court mais bon.

Kaiser

ça y est je pense avoir trouvé.

Utilise les hypothèses avec

Kaiser

En fait Stone-Weierstrass c'est plus général mais il peut se montrer en utilisant Weierstrass

C'est le 1er théorème de Weierstrass

le 2ème est sur les fonctions périodiques

Stone Weierstrass est le cas général : il faut une algèbre de fonctions comprenant les fonctions constantes et qui sépare les points. Alors cet ensemble est dense dans l' ensemble des fonctions continues sur un segment.

Sauf erreur...

C'est joli .. mais ..

bon je ne pose pas trop de question un essai et je verrai

par absurde ?
si f diférent de 0 il existe a tq f(a) non nul f continue en a donc il existe [c,d] qui contient a tq f(x) > 1/2 f(a)
posons g définie par
g(t)= ce que Kaiser a proposé
on constate que g est de C 1 sur [a,b]

mmmmm :/

il reste plus qu'à trouver un encadrement pour aboutir a une contradiction ..

Salut jeanseb,

pas forcement un segment ca marche pour X compact d'un espace normé et si tes fonctions vont dans C il faut en plus la stabilité par conjugaison ,si f est dans l'algebre, f barre  doit y etre.

Salut Cauchy

En fait on le demontre pour R d'abord et on a besoin de la stabilité par conjugaison pour passer à C sinon ca coince

Bon ..

Je comprends pas grands choses à ce que vous dites mais c'est pas grave mettez vous à l'aise .

nassoufa_02> en fait, ma méthode ne consistait pas à raisonner par l'absurde.
Avec la fonction g que j'ai posée, on a presque directement que f est nulle.

Kaiser

Ah :/

C'est la généralisation de la formule de la moyenne que tu as fais Kaiser ?

sinon encore un petit indice stp ?

Merci

hein quoi ?
euh non !
on sait que g est dérivable, donc par hypothèse, on a

Maintenant, effectue une intégration par parties.

Kaiser

Oula ..  !

G primitive de g ..



Ensuite ?

f n'est supposée que continue donc tu ne peux pas dériver f.

Kaiser

dt pardon :/

Voyons voir. En explicitant g, on a l'égalité suivante :



Là, je t'ai pratiquement tout dit pour effectuer ton IPP.

Kaiser

effectivement l'intègration par parties marche à merveille

cependant j'ai unr autre méthode :

je peux aussi interprèter ton hypothèse par le fait que la fonction f est orthogonale à toute fonction dérivable pour le produit scalaire
.
J'ai donc une fonction orthogonale à tout l'espace

Merci bien .

Justement non, ça ne marche pas car f est seulement supposée continue.
Si f était supposé dérivable, cela aurait marché mais il me semble que l'on était forcé de ruser un petit peu.

Kaiser

ah oué d'accord merci beaucoup ..

Mais je t'en prie !

Bonsoir

>Kaiser,

Bonsoir Jeanseb

Ce n'est pas parce que l'on ne travaille pas en dimension finie que ceci n'est pas vrai. Ceci est un fait général.
Si E est un espace préhilbertien (c'est-à-dire un espace vectoriel muni d'un produit scalaire), on a toujours .
En effet, un vecteur de E qui est dans l'orthogonal de E est nul, car dans ce cas il est orthgonal à lui-même. Bref, tout ceci pour répondre à ta question :

Bonsoir,

J'avoue avoir un peu de mal à comprendre de mon côté.
Hormis le vecteur nul, il n'existe aucun vecteur orthogonal à un espace préhilbertien ?

ça dépend où l'on recherche l'orthogonal.
Je m'explique.
Si E est un espace préhilbertien, l'orthogonale de E dans E c'est l'espace nul.
Si F est sous-espace de E, l'orthogonale de F dans E n'est pas forcément réduit au vecteur nul car il peut très bien exister un vecteur qui n'est pas dans F et qui ortogonal à F.
Je ne sais pas si j'ai bien répondu à ta question.

Kaiser

ok, merci, j'ai compris

Salut kaiser,

je suis désolée mais je dois encore reparler à propos de ce sujet, mais quend j'en ai parlé avec ma professeur elle m'a dis Attention à l'ennoncé
et C'est pas logique retrouver en fonction de
alors stp énonce moi ta méthode en entier et dis moi ce que tu dois justifier et tout stp


merci d'avance

kaiser, je vois que tu es là mais je ne sais malheureusement pas comment écrire en privé mais c'est just pour remonter ce post afin que tu puisse le voir en fait ..

Bonsoir nassoufa_02

On sait que pour toute fonction g dérivable sur [0,1], on a .

Si on pose , g est clairement une fonction dérivable sur [0,1] donc on a :



Ensuite, on effectue une intégration par partie en choisissant d'intégrer ce qui est entre crochets. Une primitive de ce qui est entre crochets est la fonction :



On a donc :



A présent, il faut remarquer que le crochet est nul.
En effet, en 0, ça vaut 0 à cause du t qui s'annule en 0 et en 1 ça vaut aussi 0, car (comme f est orthogonale à toute fonction dérivable, alors en particulier elle est orthogonale à la fonction constante égale à 1.

Ainsi, il vient l'égalité suivante :



Or la fonction est continue et positive sur [0,1], donc elle est identiquement nulle.
Ainsi, pour tout t de [0,1], on a :



En dérivant cette dernière égalité par rappoort à t, on obtient le résultat voulu, à savoir que f est identiquement nulle.

Kaiser

Brillante solution, Kaiser! Un régal!

Merci Jeanseb !

Waff !!! Quel élègance ! et tu croiyais que c'etait évidente ??? on est pas tous comme toi .. !
Merci Kaiser

Mais je t'en prie !

_{Je n'ai jamais dit que c'était évident !}

C'est devenu un dieu Kaiser ici !

Impressionnante la démo, jamais je pourrai penser à faire ça !

Rouliane> Désolé de plomber l'ambiance mais je n'aime pas vraiment cette expression et j'aimerais bien que tu ne dises plus ça à l'avenir. En effet, ce genre de chose me dérange réellement.

Merci de ta compréhension.

Kaiser