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intégrale

Posté par
fusionfroide 10-01-07 à 20:00

Salut

Comment montrer proprement que : \fbox{4$\int_{0}^{+\infty} t^n exp{-at}dt=\frac{n!}{a^{n+1}}}

J'ai essayé une IPP et une récurrence, mais je n'arrive pas à conclure.

Merci

Posté par
stokastikre : intégrale 10-01-07 à 20:07


Par un changement de variables cela revient à montrer que \Gamma(n+1)=n!. Je pense qu'on démontre avec une IPP que \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) puis on conclut.

Posté par
stokastikre : intégrale 10-01-07 à 20:09


Sans passer par la fonction gamma, appelle I_n l"intégrale et démontre par une IPP que I_{n+1}=\frac{n}{a}I_n ça doit le faire

Posté par
fusionfroidere : intégrale 10-01-07 à 20:12

ok merci

Posté par
fusionfroidere : intégrale 10-01-07 à 20:22

Je pose 4$\rm I_n=\int_{0}^x t^n exp{-at}dt

Donc par IPP, 4$\rm I_n=[\frac{1}{n+1}exp{-at}t^{n+1}]_0^x+\frac{a}{n+1}I_{n+1}=\frac{1}{n+1}exp{-at}t^{n+1}+\frac{a}{n+1}I_{n+1}

Je peux passer cette relation à la limite ?

Posté par
fusionfroidere : intégrale 10-01-07 à 20:29

hum j'ai du me planter quelque part...

Posté par
stokastikre : intégrale 10-01-07 à 20:32


Mais oui x tend vers l'infini don ctu obtiens ce qu'il faut (ce que j'ai écrit plus haut mais c'est n+1 et pas n)

Posté par
fusionfroidere : intégrale 10-01-07 à 20:39

oui ça marche merci


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