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Posté par Karanga (invité) 08-06-04 à 21:32

Bonjour, j'ai découvert ce site et le forum d'aide, je
me permet donc de vous demandé de m'aider à résoudre cette intégrale

cos(x)/x

J'ai intégré par partie pour en arriver à
2*cos(x)*x + 2* sin(x)*x
mais après je suis bloqué je n'arrive toujours pas à trouver une
forme convenable.

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Intégrale 09-06-04 à 11:19

Je ne suis pas sûr qu'on peut exprimer une primitive de cette
fonction par un nombre fini de fonctions élémentaires, mais c'est
à confirmer.

On peut cependant en exprimer une par une suite infinie.

Le développement de cos(x) en série de Taylor-Mac Laurin donne:

cos(x) = 1 - x²/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...

cos(x) =   (de n =0 à oo) [(-1)^n . x^(2n) /(2n)!]
-----
cos(x) /   x = (de n =0 à oo) [(-1)^n
. x^(2n - (1/2)) /(2n)!]

cos(x) /   x =
(de n =0 à oo)  [((-1)^n / (2n)!) . (x^(2n+(1/2))/ (2n + (1/2)))]
+ C
-----
Sauf distraction.    




Posté par Karanga (invité)Merci 09-06-04 à 17:20

Bonjour,

merci pour votre réponse.

En fait vous avez utilisé le développement limité de cos(x) que vous
avez divisé par x^1/2
Mais il s'avère que j'ai fait un oubli dans mon énoncé.
Il s'agissait de montrer que l'intégrale impropre
cos(x)* (x) de 0 à l'infini, était convergente.
Alors je pensais qu'il fallait par exemple encadrer la fonction
par deux autres fonction convergente et utiliser le théorème de croissance
comparée (si je me souviens bien).
Mais l'énoncé nous donne comme indication d'utiliser une intégration
par partie.
La primitive trouvée à l'aide du développement limité ne permet
pas de dire si elle est convergente si je ne dis pas de bétise.

Auriez-vous une idée ?

Merci encore.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Intégrale 09-06-04 à 17:36

Ce n'est pas le développement limité de cos(x) que j'ai
utilisé mais celui illimité (nombre infini de termes) provenant du
développement en série de Taylor.

Quoiqu'il en soit, il n'est pas nécessaire de faire tout cela pour vérifier
si l'intégrale converge.


cos(x).V(x) varie entre -oo et +oo lorsque x -> oo.
Il me semble que c'est suffisant pour dire que l'intégrale
ne converge pas.

Pour que l'intégrale converge en +oo, il faudrait, entre autre, que
lim(x->oo) cos(x).V(x) = 0 , ce n'est pas le cas.

Attendre confirmation de quelqu'un qui est sûr.




Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Intégrale 09-06-04 à 17:40

Zut, tu m'as induit dans l'erreur.  

Tu parles d'une part de cos(x)*V(x) et d'autre part de cos(x)/V(x).

Qu'est est le vrai énoncé ?

Posté par Karanga (invité)Oups pardon 09-06-04 à 18:03

Pardon c'est bien cos(x)/V(x)

désolé :/

Posté par François (invité)re : Intégrale 10-06-04 à 18:35

Il y une autre intégration par partie possible:

cos(x)*x^(-1/2)dx =
[sinx*x^(-1/2)]+ (1/2)*sin(x)*x^(-3/2) dx

entre 0 et   tu obtiens

= (1/2)*sin(x)*x^(-3/2) dx




ça devrait pouvoir t'aider dans ta résolution




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