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Integrale

Posté par Chouchou (invité) 26-02-07 à 18:50

Bonjour,

je bloque sur cette intégrale

entre 0 et -1 de X/(X²+2X-3)

nous sommes dans l'obligation d'utiliser l'intégration par changement de variable

Avec mes remerciements

Posté par
Nightmarere : Integrale 26-02-07 à 19:02

Bonjour

3$\rm \frac{X}{X^{2}+2X-3}=\frac{X+2}{X^{2}+2X-3}-\frac{2}{X^{2}+2X-3}

On a donc 3$\rm \Bigint \frac{XdX}{X^{2}+2X-3}=\Bigint \frac{X+2}{X^2+2X-3}dX-2\Bigint \frac{dX}{X^{2}+2X-3}
La première est directe et donne 3$\rm ln|X^{2}+2X-3|

La deuxième nécessite un peu plus de travail :
3$\rm X^{2}+2X-3=(X+1)^{2}+2=\
En posant :
3$\rm X+1=u\Rightarrow dX=du on obtient :
3$\rm \Bigint \frac{dX}{X^{2}+2X-3}=\Bigint \frac{du}{u^{2}+2}=\frac{1}{\sqrt{2}}Arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}u)
Au final :
3$\rm \Bigint \frac{XdX}{X^{2}+2X-3}=ln|X^{2}+2X-3|-\frac{2}{\sqrt{2}}Arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}(X+1))

Posté par Chouchou (invité)re : Integrale 26-02-07 à 19:40

Oui mais si je dérive ln(X²+2x-3) je trouve 2X+2 / X²+ 2X - 3

Posté par Chouchou (invité)re : Integrale 26-02-07 à 19:41

Et X²+2X-3 = (X+1)²-4 ????

Posté par Chouchou (invité)re : Integrale 26-02-07 à 19:49

Il faut prendre X+4    -    4    ????

Posté par
jeansebre : Integrale 26-02-07 à 20:45

Bonsoir

Il semble qu'il y ait une erreur dans le calcul de Nightmare:

x2+2x-3 n'est pas égal à (x+1)2 +2  mais à (x-1)(x+3)

dans ce cas, il faut décomposer 1/[ (x-1)(x+3) ] en éléments simples, c'est à dire trouver a et b réels tels que 1/[(x-1)(x+3)] = a/(x-1) + b/(x+3) puis intégrer par un logarithme.

Sauf erreur.

Posté par Chouchou (invité)re : Integrale 26-02-07 à 20:45

Oui merci c'est ce que je tentais de faire

Posté par
jeansebre : Integrale 26-02-07 à 20:53

3$\rm \frac{2}{x^2+2x-3}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+3)} \\ \\ donc \int\frac{2}{x^2+2x-3}= \frac{1}{2} ln(\frac{x-1}{x+3}) + C

Sauf erreur

Posté par
mikayaoure : Integrale 26-02-07 à 20:59

bonjour

Il semble qu'il y ait une erreur dans le calcul de jeanseb:

2/(x²+2x-3) = 1/(x-1) + 1/(x+3)

Posté par
kaiser Moderateurre : Integrale 26-02-07 à 21:00

Bonjour à tous

mikayaou > il n'y a pas d'erreur : sans le signe "moins", les x ne se simplifient pas.

Kaiser

Posté par
mikayaoure : Integrale 26-02-07 à 21:05

bien vu, kaiser, j'ai parlé trop vite

Posté par
kaiser Moderateurre : Integrale 26-02-07 à 21:07

ça arrive de commettre des erreurs !

Kaiser

Posté par
mikayaoure : Integrale 26-02-07 à 21:08

en revanche, en toute rigueur, des valeurs absolues ne sont-elles pas nécessaires ?

Posté par
jeansebre : Integrale 26-02-07 à 21:11

ok, mika, ok!

Posté par
jeansebre : Integrale 26-02-07 à 21:25

Pour mikayaou:

3$\rm \frac{2}{x^2+2x-3}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+3)} donc \int\frac{2}{x^2+2x-3}= \frac{1}{2} ln|\frac{x-1}{x+3}| + C

Posté par
mikayaoure : Integrale 26-02-07 à 21:31

merci jeanseb


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