Bonjour,

On te demande de calculer explicitement cette intégrale, ou alors c'est toi qui cherche à la calculer au travers d'une question ?

En fait, il faut que je trouve la nature (convergence ou divergence) d'une série dont le terme général est de exp (-t) * cos t / t dt , dont les bornes sont : n et (n+1)

cos t n'est pas de signe constant (ça dépend de n) donc je suis partie de l'inégalité cos t 1 ce qui fait que de exp (-t) * cos t / t dt
est inférieure à de exp (-t) / t dt
et il faut que je trouve si cette intégrale converge, donc je veux la calculer ça doit pas etre si dur que cela? Changement de variables peut-être? mais je n'arrive jamais à voir lequel.

Merci

Cordialement

Essaye de majorer le terme général de ta série par le terme générale d'une série convergente.

Cette intégrale est-elle si difficile que cela à calculer??
Concernant la majoration c'est ce que j'essaye de faire mais il faut bien prouver que la nouvelle intégrale converge donc il faut bien la calculer, d'où ma question de cet après-midi!
Selon vous, il n'est pas nécessaire de calculer l'intégrale que je vous ai transmis?

Merci

Cordialement

Salut meli44
tu perds ton temps en voulant calculer analytiquement cette intégrale : elle ne s'exprime pas avec les fonctions usuelles en nombre fini.
Elle s'exprime avec une fonction spéciale, la fonction erf.
La valeur de l'intégrale définie avec ces bornes est :
= sqrt(pi)*erf(sqrt((n+1)*pi))-sqrt(pi)*erf(sqrt(n*pi))
avec sqrt = racine carrée.
Tu vois que cela ne t'aide pas à répondre au problème.

d'accord, je ne savais pas du tout pour la fonction erf, d'ou mes difficultés à calculer cette intégrale!!

Par quoi puis-je majorer le terme général pour obtenir une intégrale convergente?

Merci

Cordialement

L'idée c'est d'écrire que :



D'où

Or la fonction t --> est strictement décroissante sur donc, pour tout ,

Donc on a finalement , c'est à dire

Et il n'est pas très difficile de montrer que la série converge.
On conclue alors par théorème de comparaison des séries à termes réels positifs, puis par convergence absolue.

Sauf erreurs,

merci
Le fait que c'est une fonction décroissante m'avait échappé, et je m'obstinais à vouloir calculer cette fameuse intégrale!!!

Merci encore

Cordialement

Comment faire pour démontrer que la série :
* exp (-n)/n converge

On pose X=n. quand n tend vers + X tend vers + également et -X tend vers -
Or limite exp (X) / X^ quand X tend vers - = 0 (accroissement fini)
qq soit >0 (ici vaut 1/2 donc c'est bon)

Donc le terme général de la série tend vers 0.mais malheureusement, cela ne suffit pas pour démontrer que la série converge.

là j'ai juste prouver que la série n'était pas grossièrement divergent, mais je n'ai pas prouver sa convergence!

Il faut que j'utilise un critère cauchy?d'Alembert?

Merci

Cordialement

La convergence vers 0 du terme général est une condition nécéssaire à la convergence d'une suite, mais pas suffisante bien sur ( voir la série de terme général 1/n )

Ici, tu peux utiliser les théorèmes des comparaison, en comparant ta série avec une série de Riemann ( en utilisant un petit "o" par exemple )

condition nécéssaire à la convergence d'une série...

que veut dire ces trois petits points de suspension? que veut dire un petit "o"?

un=o(Vn) , t'as pas vu ça comme notation ?

Ca permet de comparer des séries à termes positif.
Si limite de Un/Vn=0 , Un=o(Vn)
et par théorème, on sait que si la serie de terme général Vn converge et Un=o(Vn) alors la serie de terme général Un converge ( Un et Vn à terme positifs )

Mais si tu l'as pas vu...

o= notation de landau?

Si c'est cela, oui je suis censé l'avoir vu mais à vrai dire je ne l'ai pas du tout assimilé

j'ai comme définition pour un=0(vn) que un est inférieur ou égal à vn à une constante près, c'est bien cela dont vous parlez ?

Cordialement

Ca c'est un "grand O" et c'est la définition que tu viens de donner.
un petit o c'est, comme je le disais, la limite du rapport qui vaut 0.

Ici le petit "o" me parait plus approprié.

Par exemple on pourrait pas montrer que ?

oui la limite du rapport que vous m'avez donné vaut bien 0.
Donc ça marche ok. J'avoue que je n'aurais pas trouvé toute seule.
Il faut que je revoie ces fameux o, petits et grands.

Merci encore.

Dernière question (après je ne vous embête plus) :

Pourquoi on dit que lim n²*e^(-n tend vers 0 cela signifie que n²*e^(-n est bornée? et ce n'est pas un cas particulier en général on dit que quand qqch tend vers 0 ça équivaut à dire qu'il est bornée?

Je vous soumets l'explication que j'ai trouvé mais dont je ne suis pas sûre :
ccomme on prend n un entier naturel, n est donc supérieur ou égal à 0 et si on sait que la limite vaut 0 on a donc le fait que c'est bornée cad entre 0 et 0.

Mon explication tient -elle la route?

Merci

Cordialement

Tu peux le voir en revenant à la définition de la limite avec les epsilon :  à partir d'un certain rang N0, on va avoir donc à partir de ce rang N0 la suite est bornée. Et pour tous les n compris entre n=0 et n=No-1, la suite est bornée car définie. Donc finalement pour tout n la suite est bornée.

Tu peux remarquer que ceci n'est pas forcément vrai pour les fonctions : si tu prends la fonction sur R, sa limite en +oo vaut 0 mais elle n'est pas bornée sur R : celà vient du fait que pour des valeurs de x négatives, elle va tendre vers +oo.
On peut se demander comment celà se fait que le caractère bornée "marche" pour la suite mais pas pour la fonction. Celà vient du fait que pour la suite, n ne prend que des valeurs positives, alors que x peut prendre des valeurs négatives, et le va tendre vers l'infini pour des valeurs de x de plus en plus petites.

Mais il faut retenir le fait qu'une suite qui a une limite finie à l'infinie est toujours bornée. Je t'invite d'ailleurs à faire la démonstration avec les epsilon.
Conçernant les fonctions, on a le théorème suivant : si f est continue sur  [a,+oo[ et avec une limite finie à l'infinie, elle est bornée sur [a,+oo[.
La démonstration est semblable à celle sur les suites, en utilisant que l'image notamment que l'image d'un compact est un compact.

Je sais pas si c'est très clair ce que je raconte, n'hésite pas à le dire.

merci beaucoup de votre aide.

Franchement je ne savais pas qu'une suite qui a une limite finie à l'infini est toujours bornée. Je croyais de par les exemples que j'avais, qu'une suite qui a une limite égale à 0 à l'infini est bornée mais pas nécessairement, du moment qu'elle soit fini.

Merci
c'est plus clair dans ma tête.

Je passe à l'algèbre maintenant, et c'est encore moins clair dans ma tête!
Merci beaucoup,

Cordialement

Quels sont les exemples que tu as en tete ?

Sinon, je ne comprends pas ce passage :

Non mais je croyais qu'une suite qui a une limite égale à 0 était bornée, ce que vous avez confirmé mais vous avez étendu le propos en disant que non seulement une suite qui a une limite égale à  0 est bornée mais aussi toutes les suites qui ont des limites finies sont bornées.C'est ce dernier point que j'ignorais avant votre intervention.

Dans tous nos exemples, on avait des séries dont le terme général tendait vers 0 (jamais une autre limite fini )donc bornée

voilà c'est tout!
Merci encore

Cordialement

mais le terme général d'une série doit toujours tendre vers 0, c'est une cobdition nécéssaire de convergence d'une série !

dans mon message je parlais plus généralement des suites. mais ne dit pas que la série est bornée.

on en a parlé tout à l'heure de cette CN.
ok merci encore

Cordialement

Vous êtes professeur de maths sans indiscrétion?

j'étais

tu peux me tutoyer

o ok
merci
j'ai toujours eu du mal à tutoyer les gens, surtout les professeurs de maths!