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Posté par
gui_tou 04-05-08 à 13:23

Bonjour à tous

Citation :
Montrer que 4$A=\Bigint_0^1 \fr{\ell n(x)}{\sqrt{1-x^2}}{3$dx converge et la calculer.


Je m'intéresse donc à 4${3$\rm I=}\Bigint_a^b \fr{\ell n(x)}{\sqrt{1-x^2}}{3$dx, avec 3$\rm (a,b)\in]0,1[^2 et a<b

Remarque : I<0

Une intégration par parties donne : 3${\rm I\,=\,}{3$\[\ell n(x).\rm{Arcsin}(x)\]_a^b\,-\Bigint_a^b \fr{\rm{Arcsin}(x)}{x}{3$dx

Lorsque 3$b\to1, on a 3$I\longrightarrow \ell n(a).\rm{Arcsin}(a)-\Bigint_a^1 \fr{\rm{Arcsin}(x)}{x}{3$dx

Lorsque 3$a\to0, on a 3$I\longrightarrow -\Bigint_0^1 \fr{\rm{Arcsin}(x)}{x}{3$dx

Et 3$\rm A=\lim_{a\to0\\b\to1} I=-\Bigint_0^1 \fr{Arcsin(x)}{x}dx

Et là je suis bloqué

Merci de m'aider

Posté par
infophilere : Intégrale 04-05-08 à 13:25

Salut guitou

Cette intégrale n'est pas calculable, c'est la constante de Catalan, je me souviens avoir bosser dessus, je vais te retrouver ça.

Posté par
gui_toure : Intégrale 04-05-08 à 13:34

Si si kéké, elle vaut 3$\fr{-\pi}{2}\ell n(2)

Posté par
infophilere : Intégrale 04-05-08 à 13:35

Voilà il est téléchargeable ici normalement :

Bonne aprem vieux

Posté par
gui_toure : Intégrale 04-05-08 à 13:35

la constante de Catalan c'est avec du arctan ^^

Posté par
infophilere : Intégrale 04-05-08 à 13:36

Ah zut c'est pas la même fonction

Posté par
gui_toure : Intégrale 04-05-08 à 13:41

Pas grave , pas grave !!

Très zoli DM

Posté par
gui_toure : Intégrale 04-05-08 à 13:46

En écrivant 3$\rm%20A=\lim_{a\to0\\b\to1}%20I=-\Bigint_0^1%20\fr{Arcsin(x)}{x}dx j'ai fait la moitié du travail, en montrant qu'elle convergeait

Posté par
infophilere : Intégrale 04-05-08 à 13:47

C'est pour quand ? J'me souviens avoir déjà eu à calculer cette intégrale, mais là j'peux pas rester

Désolé d'avoir verdis ton topic..

A ce soir !

Posté par
gui_toure : Intégrale 04-05-08 à 13:48

Officiel de la Taupe, planche 207 I

Rien d'important donc

Posté par
gui_toure : Intégrale 04-05-08 à 13:48

Y a pas de mal pour le verdissage

Bon aprèm vieux !

Posté par
fusionfroidere : Intégrale 04-05-08 à 16:25

Salut Guillaume,

POurquoi ne travailles-tu pas avec des équivalents pour montrer que ça converge ? Tu sais les théorème de comparaison d'intégrales à termes positifs ?

Posté par
gui_toure : Intégrale 04-05-08 à 17:56

Si elle converge puisque la fonction \forall t\in]0,1 ]\\f(t)=\fr\{Arcsin(t)}{t est continue en 0 et 1, donc sur le segment [0,1] et donc I converge.

Mais pour sa valeur ...

Posté par
gui_toure : Intégrale 04-05-08 à 17:57

Salut FF au fait

3$\rm\forall%20t\in]0,1]\\f(t)=\fr{Arcsin(t)}{t

Posté par
lyonnaisre : Intégrale 04-05-08 à 18:22

Salut gui_tou

J'ai regardé vite fait (concours oblige), j'ai peut être une piste.

En fait, j'ai voulu faire apparaitre le Pi dans le résultat

3$\rm A = -\Bigint_0^1 \fr{Arcsin(u)}{u}du

Si tu poses u = sin(x)

Puis si tu fais une IPP en virant le x

Tu dois trouver :

\Large{A=\Bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} ln(sin(x)) dx = \frac{1}{2}\Bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} ln(1-cos^2(x)) dx

Et là tu utilises pour X dans ]-1,1[

\Large{ln(1-X) = -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{X^n}{n}

Tu obtiens alors :

\Large{A=-\Bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{cos^{2n}(x)}{n} dx

Là il faurdait justifier l'intervertion somme/intégrale

Et comme tu connais tes intégrales de Wallis par coeur, tu sais que :

\Large{\Bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^{2n}(x) dx = \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}.\frac{\pi}{2}

Donc après justifications ... :

\Large{A=-\frac{\pi}{2}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(2n)!}{n.2^{2n+1}.(n!)^2}

D'après ton résultat, "reste" à justifier que :

\Large{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(2n)!}{n.2^{2n+1}.(n!)^2} = ln(2)

Bon courage, moi j'y vais :D

A bientôt ^^

PS : il doit y avoir vingt milles fois plus simple ^^

Posté par
gui_toure : Intégrale 04-05-08 à 18:23

Je regarde ça, merci Romain !!

Et bon courage ! C'est CCP cette semaine ?

Posté par
lyonnaisre : Intégrale 04-05-08 à 18:24

PS2 : C'est :

\Large{A=-\frac{1}{2}\Bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{cos^{2n}(x)}{n} dx

Posté par
lyonnaisre : Intégrale 04-05-08 à 18:24

Oui CCP.

J'y vais A bientôt

Posté par
gui_toure : Intégrale 04-05-08 à 18:25

Encore merci

A+

Posté par
perroquetre : Intégrale 04-05-08 à 18:26

Bonjour, gui_tou

Le changement de variable   x=sin(t)  donne:

3$ I=\int_0^{\pi/2} \ln(\sin t) dt

Et on tombe sur une intégrale classique.
Des indications pour le calcul ?

Posté par
perroquetre : Intégrale 04-05-08 à 18:29

J'arrive largement après la battaille
Je vais poster l'astuce pour le calcul de I.

Posté par
gui_toure : Intégrale 04-05-08 à 18:30

Bonjour perroquet

Avec une méthode plus simple que celle de lyonnais ?

Merci!

Posté par
perroquetre : Intégrale 04-05-08 à 18:38

On pose donc:

3$ I=\int_0^{\pi/2} \ln(\sin t) dt      3$ J=\int_0^{\pi/2} \ln(\cos t) dt

On a:

3$ I=J   (changement de variable   u=\frac{\pi}{2}-t )

3$ I+J=\int_0^{\pi/2} \ln( \sin t \cos t)dt=\int_0^{\pi/2}\ln\left(\frac{\sin(2t)}{2}\right)dt = -\frac{\pi}{2}\ln 2+\int_0^{\pi/2} \ln (\sin(2t)) dt

Il ne reste plus qu'à démontrer que:

3$ I=\int_0^{\pi/2} \ln (\sin(2t)) dt

(changement de variable  u=2t   et argument de symétrie)

Posté par
lyonnaisre : Intégrale 04-05-08 à 18:42

Bien vu perroquet



Je me suis compliqué la vie (comme prévu)

Je retiendrais la méthode à l'avenir, elle est très efficace !!

Du coup, on a prouvé que :

\Large{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(2n)!}{n.2^{2n+1}.(n!)^2} = ln(2)

Mais je n'arrive pas à le montrer à partir de la somme ...

si jamais quelqu'un a une idée ( histoire de finir ma démo :D )

je lierai ça la semaine prochaine.

J'y vais. A bientôt !

Posté par
gui_toure : Intégrale 04-05-08 à 18:57

3$%20I=\int_0^{\pi/2}%20\ln%20(\sin(2t))%20dt

Le changement de variable u=2t donne du=2dt et

3$%20I=\fr12\int_0^{\pi}%20\ln%20(\sin(u))%20du\;=\;\fr12\int_0^{\fr{\pi}{2}}%20\ln%20(\sin(u))%20du\;+\;\fr12\int_{\fr{\pi}{2}}^{\pi}%20\ln%20(\sin(u))%20du\;=\;\int_0^{\fr{\pi}{2}}%20\ln%20(\sin(u))%20du

(changement de variable t=u-Pi/2 dans l'intégrale de Pi/2 à Pi)

Posté par
gui_toure : Intégrale 04-05-08 à 19:01

t=Pi/2-u pardon


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