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intégrale

Posté par bliz (invité) 10-12-04 à 21:11

bonsoir
j'ai une fonction f de classe C1 definie de [a,b]sur et x(k)=a+k*(b-a)/n pour k entier naturel
on pose Sn=(b-a)/nf(x(k)) de 1 à n
et je dois montrer que (valeur absolue) [Sn-f(t)dt de a à b](b-a)²/(2n) sup[f']
merci de m'aider et bonne soirée

Posté par
franzre : intégrale 10-12-04 à 22:02

S_n - \Bigint_a^b f(t) dt = \Bigsum_{k=1}^n \( \frac {b-a} n f(x_k) - \Bigint_{x_{k-1}}^{x_{k}} f(t) dt \)

Or \forall k \in [[1,n]], par intégration par parties,
\array{\Bigint_{x_{k-1}}^{x_{k}} f(t) dt & = & \[ (x-x_{k-1})f\(x\) \]_{x_{k-1}}^{x_{k}} - \Bigint_{x_{k-1}}^{x_{k}} (x-x_{k-1})f^'(t) dt \\ & = & (x_k-x_{k-1})f\(x_k\) - \Bigint_{x_{k-1}}^{x_{k}} (x-x_{k-1})f^'(t) dt \\ & = & \frac {b-a} n f(x_k) - \Bigint_{x_{k-1}}^{x_{k}} (x-x_{k-1})f^'(t) dt}

Donc
\array{ccl$\|{S_n - \Bigint_a^b f(t) dt} \| & \le & \Bigsum_{k=1}^n \| { \frac {b-a} n f(x_k) - \Bigint_{x_{k-1}}^{x_{k}} f(t) dt } \| \\ & \le & \Bigsum_{k=1}^n \| {\Bigint_{x_{k-1}}^{x_{k}} (x-x_{k-1})f^'(t) dt } \| \\ & \le & \Bigsum_{k=1}^n \Bigint_{x_{k-1}}^{x_{k}} \| {(x-x_{k-1})f^'(t) } \| dt \\ & \le & \Bigsum_{k=1}^n \sup{\|f^'\|}\Bigint_{x_{k-1}}^{x_{k}} (x-x_{k-1}) dx \\ & \le & \Bigsum_{k=1}^n \sup{\|f^'\|} \( { \frac 1 2 \[ (x-x_{k-1})^2\]_{x_{k-1}}^{x_{k}}} \) \\ & \le & \Bigsum_{k=1}^n \frac {\sup{\|f^'\|} } 2 \(\frac {b-a} n\)^2 \hspace {50} = \frac {(b-a)^2}{2n} \sup{\|f^'\|} }


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