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integrale

Posté par Tanguy- (invité) 24-03-05 à 13:50

bonjour, j'ai un petit pb pour l'intégrale suivante:
1/(1+ch²x).

intégrale de 0 à /4: donc pas de pb en ce qui concerne l'intervalle.
J'ai remarqué qu'on pouvait faire le chgt de variable t=cos x car si f est la fction 1/(1+ ch²x), alors on a
f(-x)d(-x)=f(x) dx  mais apres je vois pas.

j'ai essayé de passer sous la forme exponentielle mais c t encore plus dur
et enfin g essaye de faire apparaitre la dérivée en haut afin de pouvoir utiliser par la suite arctan, car on peut transformer le 1 en ch²-sh² puis apres faire des intégrations par parties, mais je bloque la aussi!

merci à celui qui pourra m'aider pour ce probleme qui m'obsede depuis maintenant 2 jours

Posté par
JJare : integrale 24-03-05 à 18:03

Avec le changement   x = th(t) on abouti aisément à :


integrale

Posté par Tanguy- (invité)re : integrale 24-03-05 à 18:18

euh....
aisément est un bien grand mot pour moi.
peux tu détailler, car deja le ch(th(x)) me pose pas mal de pb!

et surtout comment t'est venu l'idée de faire ce chgt de variable? de faire intervenir une fction hyperbolique ok, ms pourquoi th?
merci

Posté par
Flo_64re : integrale 24-03-05 à 18:19

c'est une fonction connue

Posté par Tanguy- (invité)re : integrale 24-03-05 à 18:25

th oui
ch oui
mais la composition des deux, je ne l'ai pas vue.
si tu peux me l'expliquer, ce serai sympa!

Posté par
isisstruissre : integrale 24-03-05 à 19:37

Je crois que JJa pensait plutôt au changement de variable t=th(x).

Voici les détails:
t=th(x)\qquad\Rightarrow\qquad x=ath(t)\\ dx=\frac{dt}{1-t^2}

Il nous reste à réécrire ch²(x) en fonction de t...
t^2=\frac{sh^2(x)}{ch^2(x)}=\frac{ch^2(x)-1}{ch^2(x)}=1-\frac{1}{ch^2(x)}\\ \Rightarrow\qquad ch^2(x)=\frac{1}{1-t^2}

On passe enfin à l'intégrale:
\large\array{rl$\bigint_0^{\pi/4}\frac{1}{1+ch^2(x)} &=\bigint_0^{th(\pi/4)}\frac{1}{1+\frac{1}{1-t^2}}\cdot\frac{dt}{1-t^2}\\ &=\bigint_0^{th(\pi/4)}\frac{dt}{2-t^2}\\ &=\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\(\frac{\sqrt{2}+t}{\sqrt{2}-t}\)|_0^{th(\pi/4)}}

Isis

Posté par
JJare : integrale 24-03-05 à 22:27

En effet, j'avais semé la pagaille dans les notations.
Heureusement "isisstruiss" était là pour remettre tout en ordre !


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