Tu as bien écrit : ?

oui c'est bien ça.

En faisant le changement y=ax, on montre aisément que I(a) ne dépend pas de (a), c'est à dire que I(a)=constante.
Quelle est la valeur de cette constante ?
Si vous connaissez la méthode des résidus et l'intégration selon un contour fermé dans le plan complexe, vous trouverez immédiatement que cette constante est égale à pi/2.

aI(a)=sin(ax)/xdx
soit y=axdy=adx et l'on a alors
I(a)=siny/a²y dy.
Or sinx/xdx=/2 on a donc I(a)=/2a²

mon raisonnement est-il bon?
2/par intégration par parties et l'on a J=I(2)=/8
3/par contre pour la suite j'ai exprimé I(a+b) et I(a-b) mais je ne sais pas par où commencer!!

salut
si a=0 on a I(0)=0
a different de 0
a > 0
I'(a)=integrale(0 a z) sin(ax)/x .dx
z >= 0
changement de variable :

y=ax =>dy =a*dx et y/a=x

donc I'(a)=integrale(0 a a*z) sin(y)/y .dy

pour z-> +oo on a I(a)=integrale(0 a +oo) sin(y)/y .dy = Pi/2

donc pour a >0 I(a)=Pi/2

pour a < 0 on aura par le meme raisonnement I(a)=-Pi/2

pour 2 et 3 il faudrait les bornes des integrales...

si c'est 0 et +oo ,

par ton raisonnement J=I(2)=Pi/2

reste 3)

il faut utiliser l'egalite {cos[(a-b)x]-cos[(a+b)x]}/2=sin(a*x)*sin(b*x)

on doit arriver a (1/2)*[(a+b)*I(a+b)-(a-b)*I(a-b)]
non ?

a+.

pour le 1), je ne comprends pas moi dans mon changement de variable il me reste 1/a²!!Est-ce que je me trompe?

pour le 3), j'ai d'une part:
I(a+b)=(sinbx sinax /x²)(x/tanbx +x/tanax) dx
et d'autre part:
I(a-b)=(sinbs sinax /x²)(x/tanbx - x/tanax) dx

les bornes des intervalles sont 0 et +.

je suis d'accord avec l'égalité trigonométrique mais comment exploiter des    cos[(a+b)x] alors que l'on travaille avec des sinus?

oups, je devais avoir trop chaud. Ok pour I(a)=cste.
Là je me prends la tête pour la dernière question!!!

pour ton post de 11h42 :

sin(ax)sin(bx)/x^2 = {cos[(a-b)x]-cos[(a+b)x]}/(2*x^2)

a partir de la integration par parties (il faudra quand meme faire attention , on a des integrales impropres donc on ne peut pas faire tout ce qu'on veut)

les cosinus "vont devenir des sinus" et les 1/x^2 des 1/x on retombe sur les formes I(a-b) et I(a+b)...

ok merci je vais essayer de faire ça.

Dis-moi délice, tu serais pas en train de faire le devoir 2 de la prépa capes du cned???