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intégrale !

Posté par hanane (invité) 09-12-05 à 00:01

salut ! j'ai des difficultés avec cet exo :

on pose f(x) = de 0 à x de  exp(i t^2 - 2xt - i x^2 )

1/ détérminer lim f(x) quand x tend vers +00

2/ justifier que f est dérivable et montrer que : f(x) = (1+i) de 0 à x de   exp(-2 t^2 ) dt - i de 0 à x de   exp( -i t^2) dt

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrale ! 09-12-05 à 04:35

Bonsoir hanane;
1/ Tu peux remarquer que \fbox{\forall(x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\hspace{5}e^{it^2-2xt-ix^2}=e^{-2xt}(cos(x^2-t^2)-isin(x^2-t^2))} et ainsi tu vois que f est bien définie et que \fbox{\forall x\in\mathbb{R}\hspace{5}f(x)=\int_{0}^{x}e^{-2xt}cos(x^2-t^2)dt-i\int_{0}^{x}e^{-2xt}sin(x^2-t^2)dt} et en particulier tu as que \fbox{\forall x\in{\mathbb{R}}^*\hspace{5}|f(x)|\le2|\int_{0}^{x}e^{-2xt}dt|=2|\frac{1-e^{-2x^2}}{2x}|\le\frac{1}{|x|}} d'où 2$\blue\fbox{\lim_{x\to\pm\infty}\hspace{5}f(x)=0}
2/ Pour voir que f est dérivable il suffit de montrer qu'elle est developpable en série entière sur tout \mathbb{R}.
On a en effet que \fbox{f(x)=\int_{0}^{x}e^{i(t+ix)^2}dt=\int_{0}^{x}\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{i^{n}(t+ix)^{2n}}{n!}dt} peut on intervertir? Eh ben oui la série de l'exponentielle converge normalement sur tout compact du plan complexe et on a donc:
\fbox{f(x)=\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{i^{n}}{n!}\int_{0}^{x}(t+xi)^{2n}dt=\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{i^{n}}{n!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}((1+i)^{2n+1}-i^{2n+1})} qui est bien un développement en série entière de f sur tout \mathbb{R}(le rayon de convergence est infini) et donc que f est bien dérivable et \fbox{(\forall x\in\mathbb{R})\hspace{5}f'(x)=\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{i^{n}x^{2n}}{n!}((1+i)^{2n+1}-i^{2n+1})=(1+i)\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{i^{n}x^{2n}}{n!}(1+i)^{2n}-i\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{i^{3n}x^{2n}}{n!}} et vu que \fbox{et\{{(1+i)^2=2i\\i^3=-i} on voit que \fbox{(\forall x\in\mathbb{R})\hspace{5}f'(x)=(1+i)e^{-2x^2}-ie^{-ix^2}} et par intégration que 3$\blue\fbox{(\forall x\in\mathbb{R})\hspace{5}f(x)=(1+i)\int_{0}^{x}e^{-2t^2}dt-i\int_{0}^{x}e^{-it^2}dt}

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