Il me semble qu'il y en a une infinité.

Par exemple: f(t) = e^t - 1,1

On a f(0) = -1,1 et donc en t = 0, on a f(t) < t

L'intégrale ... = [e^t - 1,1.x] de x à 1

L'intégrale ... = e - 1,1 - e^x + 1,1x

L'intégrale ... = 1,1(x-1) + e - e^x

Il reste à montrer que (1/2)-(x²/2) - (1,1(x-1) + e - e^x) <= 0 pour x dans [0 ; 1]

g(x) = (1/2)-(x²/2) - (1,1(x-1) + e - e^x)
g'(x) = -x - 1,1 + e^x
g''(x) = -1+e^x
g'''(x) = e^x

g'''(x) > 0 --> g''(x) est croissante.
g''(0) = 0
--> g''(x) >= 0 sur [0 ; 1] --> g'(x) est croissante.

g'(x) = 0 pour x = alpha = 0,41 environ

g'(x) < 0 pour x dans [0 ; alpha[ -> g(x) est décroissante.
g'(x) = 0 pour x = alpha
g'(x) > 0 poour x dans ]alpha ; 1] --> g(x) ewt croissante.

g'(x) est minimum pout g = alpha et ce min = g(alpha) est < 0.
g(0) < 0.
g(1) = 0
De ce qui précède, on conclut que:
g(x) <= 0 sur [0 ; 1]

(1/2)-(x²/2) - (1,1(x-1) + e - e^x) <= 0
(1,1(x-1) + e - e^x) >= (1-x²)/2

Et comme L'intégrale ... = 1,1(x-1) + e - e^x, on a bien:

L'intégrale ...  >= (1-x²)/2
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Mais  f(t) = e^t - 1,1 n'est qu'ne possibilité parmi une infinité d'autres.
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Peut-être n'ai-je pas compris ce qui était demandé.