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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Intégrale

Posté par
toureissa
11-02-19 à 22:49

Bonsoir,

J'ai besoin de votre aide sur cet exercice.

1. \int_{0}^{1}\frac{dt}{1-\sqrt{t}}

2. \int_{0}^{+\infty}(1+t\ln(\frac{t}{t+1}))dt

3. \int_{0}^{+\infty}(\sqrt{x^4+x^2+1}-\sqrt[3]{x^3+ax})dx

4. \int_{0}^{+\infty}e^{-t}(\frac{1}{1-e^{-t}}-\frac{1}{t}})dt

1.

\lim_{x\rightarrow 1} \int_{0}^{x}\frac{dt}{1-\sqrt{t}}=\lim_{x\rightarrow 1}[2(1-\sqrt{t})-2\ln(1-\sqrt{t})]_{0}^{x}=-2

2. En +\infty,

f(x)=1-x\ln(1+\frac{1}{x})=\frac{1}{2x}+o(\frac{1}{x})

Et la divergence.

3.  J'ai trouver f(x)=2-3a+\frac{2}{x^2}+o(1)

4. La partie \frac{e^{-t}}{1+e^{-t}} admet comme primitive \ln(|1+e^{-t}|) en utilisant la linéarisation et en classe la limite cette partie diverge.

Aidez-moi à bien rédiger .

Posté par
larrech
re : Intégrale 11-02-19 à 23:04

Bonsoir,

La première ne converge pas, le log tend vers -

Posté par
toureissa
re : Intégrale 11-02-19 à 23:06

Oui bien-sûr je n'ai pas fait attention.

Posté par
larrech
re : Intégrale 11-02-19 à 23:46

L'intégrale donnée en 4/ me semble être convergente. A vérifier.

Posté par
Zrun
re : Intégrale 12-02-19 à 07:03

Pour la dernière intégrale , il faut étudier séparément les problèmes en 0 et en +\infty . Le problème en +\infty est rapidement traité, il reste à étudier plus précisément l'intégrande au voisinage de 0

Posté par
luzak
re : Intégrale 12-02-19 à 08:31

Bonjour !
Si tu veux "bien" rédiger, commence par
. définition des fonctions
. détection des bornes  finies avec limites infinies, bornes infinies
. signe (au cas où tu veux prendre des équivalents). Une remarque ici : si tu as un équivalent de signe constant, tu peux conclure pour le signe de la fonction "au voisinage de ..."

...............................
La première primitive de 1. n'est pas justifiée et me semble fausse.
Comme on t'a déjà dit tu abuses de la notation "lim" (il FAUT commencer par montrer l'existence des limites)
............................
Le développpement écrit pour le 2 ne signale pas si c'est en 0 ou en +\infty.
Il y a problème à la fois en 0 et +\infty.
.............................................
Pour la 3., si le premier radical n'est pas une racine quatrième ton calcul est faux ! La convergence/divergence dépend de a : calculs à faire en \+infty et correctement. La fonction est continue en 0.
...................................
La 4. présente un problème à la fois en 0 et +\infty.
Il est plus simple de réduire au même dénominateur et de trouver des équivalents du numérateur et du dénominateur.

Posté par
etniopal
re : Intégrale 12-02-19 à 09:32

Pour la 1 :
   f : [0 , 1[   ,  t   \frac{1}{1-\sqrt{t}}    est    continue et  à valeurs dans ]0 , +  .
On peut donc écrire  \int_{0}^{1}\frac{dt}{1-\sqrt{t}}  qui désigne un élément de ]0 , + ] .

  F :t       -2\sqrt{t}} - 2ln(1-\sqrt{t})} est une primitive de f  et
  F(t) + quand x 1   ce qui prouve que \int_{0}^{1}\frac{dt}{1-\sqrt{t}}  = +\infty .
C'est un peu plus précis que " \int_{0}^{1}\frac{dt}{1-\sqrt{t}} est divergente !!

Posté par
etniopal
re : Intégrale 12-02-19 à 10:16

Pour la 2 :
f : +* , t     1+t\ln(\frac{t}{t+1})  

Quand t 0  on a :  f(t)    1  puisque    tln(t)  et  tln(t + 1) tendent vers 0     et
quand t +    on a  :  f(t) =  1 - t ln(1 + 1/t)   \sim 1/2t
donc
\int_{0}^{+\infty}(1+t\ln(\frac{t}{t+1}))dt existe et vaut +

C'est encore plus précis que  ton "   Et la divergence "

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