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integrale

Posté par kabers (invité) 06-06-06 à 12:15

je n'arrive pas à integrer cette fonction:integral1/(1+x^4)

Posté par
Blackdevilre : integrale 06-06-06 à 12:30

ça donne quelque chose de très gros  plein d'arctan et de complexe (sqrt(-2i))..

C'est effectivement compliqué..

Dsl..



David

Posté par
raymond Correcteurre : integrale 06-06-06 à 12:59

Bonjour kabers.
Si l'on veut rester dans l'ensemble des réels, il faut écrire :
3$\textrm x^4 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2 = (x^2 + 1)^2 - (x\sqrt{2})^2
3$\textrm x^4 + 1 = (x^2 - x\sqrt{2} + 1)(x^2 + x\sqrt{2} + 1).
Ensuite on décompose en éléments simples :
3$\textrm\frac{\sqrt{2}}{4}[\frac{x+\sqrt{2}}{x^{2}+x\sqrt{2}+1} + \frac{-x+\sqrt{2}}{x^{2}-x\sqrt{2}+1}].
On arrange les numérateurs pour faire apparaître les dérivées des dénominateurs et on intègre en ln et en Arctan. Sauf erreur, je trouve :
3$\textrm\Bigint\frac{dx}{x^{4}+1} =
3$\textrm\frac{\sqrt{2}}{8}ln\frac{x^{2}+x\sqrt{2}+1}{x^{2}-x\sqrt{2}+1} + \frac{\sqrt{2}}{4}[Arctan(x\sqrt{2}+1) + Arctan(x\sqrt{2}-1)] + K.
Cordialement RR.


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