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Posté par
HelperEddyre : Intégrale 21-12-20 à 17:57

Intégration

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 22-12-20 à 00:32

Alors j'y vais un peu sur la pointe des pieds xD :

x = rcos(\theta)
y = rsin(\theta)

Déterminant :
\Delta = r

z \leq 0,   r² + z²  \leq 4, z² \geq r²

On trouve :

z² \geq r^2
0 \geq r \geq z car z \leq 0

Et 0 \leq \theta \leq 2\pi

r² + z² \leq 4
r² \geq 0 , z² \geq 0
Donc :
Les bornes de la region ? :

0 \geq r \geq z \geq - 2
-2 \leq z \leq 0
0 \leq \theta \leq 2\pi

On a donc :

I = \int_{-2}^{0}{\int_{0}^{2\pi}{\int_{-2}^{0}{ r^3 + rz² dr{d\theta}dz}

Là à partir d'ici je sais que y'a une erreur xD je parce qu'on a le cas ou :

2 \geq r \geq 0, -r \geq z

Mais là je sais pas comment faire un indice ? :/

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 22-12-20 à 01:44

Trop sous estimé la deuxième x) j'ai foncé dans le changement de variable à ne pas faire ... voilà :

I = \int_{0}^{1/2}{arcsin(\sqrt{x})dx}

x = sin²(\theta)
dx = 2cos(\theta)sin(\theta)d\theta

I = \int_{0}^{\pi/4}{2*cos(\theta)sin(\theta)d\theta}

Avec IPP :

I = [\theta*sin²(\theta)]_{0}^{\pi/4} - \int_{0}^{\pi/4}{sin²(\theta)d\theta}

Déjà fait l'intégrale de sin²(x) avec sin²(x) = (1-cos(2x))/2 on a :

I = [\theta*sin²(\theta)-\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{sin(2\theta)}{4}]_{0}^{\pi/4}

I = \dfrac{1}{4}

J'aime bien ça faisait longtemps ^^ dommage que l'on ne fasse plus du tout ça en terminal aujourd'hui x(

Posté par
HelperEddyre : Intégrale 22-12-20 à 02:10

Haha, belle tentative!

Indice : Pense à utilier les coordonnées sphérique et non cylindrique!



Tu vas voir, ça revient à plus simple!

Donne moi de tes nouvelles

* Modération > lien facilité *

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 22-12-20 à 10:42

Le pire c'est que j'ai regardé les coordonnées sphériques mais je me suis dis oula ouf c'est chaud mais bon let's go alors je vais partir sur ça ^^

Posté par
malou Webmasterre : Intégrale 22-12-20 à 11:26

Bonjour à tous
J'ai basculé ce sujet en "Lycéen curieux" car cela dépasse plus que largement le programme de terminale

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 22-12-20 à 11:50

Effectivement bien plus simple je m'attendais pas à ce que ça se simplifie autant :

x = pcos(\theta)sin(\varphi)
y = psin(\theta)sin(\varphi)
z = pcos(\theta)

J'ai une petite question ici, sur un site il calcul le déterminant jacobien sphérique et ils ont -p²sin(\varphi)
Mais ils prennent la valeur absolue après pourquoi ? ^^

Ducoup :

\Delta = p²sin(\varphi)

Et on a (je l'ai fais mais un peu long à faire ici donc je passe mais tout se simplifie, je suppose que c'est le but des coordonnées sphériques aussi, avec les formules cos²(x) + sin²(x) ça s'en va tout seul) :

x²+ y² + z² = p²

Les bornes d'intégration :

p² \leq 4
-2 \leq p \leq 2

Ensuite :

z² \geq x² + y²
cos²(\theta) \geq sin²(\varphi)

pcos(\theta) \leq 0

Mais à partir de là je bloque pour trouver les bornes pour \theta et \varphi, je vais tenter avec celle de base :

-2 \leq p \leq 2
0 \leq \theta \leq \pi
0 \leq \varphi \leq 2\pi

I = \int_{0}^{\pi}{\int_{0}^{2\pi}{\int_{-2}^{2}{p^4sin(\varphi)dp}d\varphi}d\theta}

I = \int_{0}^{\pi}{\int_{0}^{2\pi}{{\dfrac{64sin(\varphi)}{5}}d\varphi}d\theta}

I = \int_{0}^{\pi}{

Là j'ai 0 donc hmm bloqué de toute façon :/ je vois pas comment m'en sortir avec ça :

\begin{cases} p² \leq 4 \\ pcos(\theta) \leq 0 \\ sin²(\varphi) \leq cos²(\theta) \end{cases}

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 22-12-20 à 18:54

Une idée pour s'en sortir ? x)

Posté par
HelperEddyre : Intégrale 23-12-20 à 01:46

Oui, très facile en faisant un schéma!

On a x^2+y^2+z^2 plus petit que 4, donc cela correspond à une sphère de rayon 2.

On a z plus grand ou égal à 0. Donc c'est une demi-sphère.

Puis z^2 plus grand que x^2+y^2. Ça c'est un cône qui vient couper la demi-sphère.

Donc la zone d'intégration est une demi-sphère qui lui manque un volume en forme de cône au milieu.

Donc Theta varie de pi/4 à pi/2, phi de 0 à 2pi et rho de 0 à 2.

Un jacobien négatif a du sens, mais le changement de coordonnées va inverser les axes. fixer un jacobien positif permet de ne pas avoir à le faire. Donc par définition, il est toujours positif.

Donc après avoir résolue la matrice 3*3 jacobienne, on obtient dxdydz=\rho^2\cdot sin\theta d\theta d\phi d\rho

Donc il te revient à résoudre cette intégrale :

\int_{0}^{2 \pi} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} \rho^{4} \sin \theta d \rho d \theta d \phi

Ce qui n'est pas du tout compliqué.
J'espère que tu t'es bien amusé

Intégrale

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 23-12-20 à 11:06

Merci pour ta réponse, oui aha je m'amuse bien, c'est intéressant !  Faut y penser quand même le coup du cône et de la sphère ! J'ai pas l'habitude des repères en 3 dimensions.
Mais ducoup si on cherche l'air de la demi sphère en enlevant l'air du cône dans cette demi sphère ? C'est pas 0 \leq \theta \leq \dfrac{pi}{4} ?

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 23-12-20 à 11:08

Et ducoup on ne peut pas trouver ces bornes d'intégration algébriquement ? Sans le schéma ? ^^

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 23-12-20 à 11:13

Ah oui et le déterminant c'est pas :

\Delta = p^2sin(\varphi) ?

? Vous avez mis \Delta = p²sin(\theta)

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 23-12-20 à 11:26

J'ai rien dit j'ai du mal ce matin xD, on cherche le volume du cone dans la sphère en faite ^^

Posté par
HelperEddyre : Intégrale 23-12-20 à 19:23

Tu as deux choses qui ne sont pas encore clair pour toi :

-z^2 plus grand que x^2+y^2 veut dire que sur le plan xy, c'est un cercle de rayon z. Or z doit être plus grand que ce cercle, doit c'est tous les points non contenu dans les cônes en 3D.

-Puis thêta est un peu déstabilisant. Cette variable correspond à la distribution de l'aire d'un demi-cercle sur l'axe des z.
Et phi, c'est la partie plus simple puisque c'est la distribution de l'aire d'un cercle sur  le plan xy.
Phi est compris entre 0 et 2pi et thêta entre 0 et pi.
Pour enfin venir à ta mauvaise compréhension, il faut que thêta varie de pi/4 à pi/2 pour ne pas inclure le cône et la partie négative de la sphère. Parce que thêta varie à partir des z positifs!

Retourne voir le schéma sur Wikipédia posté plus tôt. Il y a un beau schéma

Tout est plus clair?

Posté par
Pirhore : Intégrale 23-12-20 à 21:03

Bonsoir,

je ne fais que passer!

HelperEddy : je pense qu'il y a une petite coquille

\theta est orienté de Oz vers le point considéré donc \theta varie bien de 0\, à\, \dfrac{\pi}{4} et on ne considère bien que la partie "positive" du cône

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 24-12-20 à 02:24

Ducoup je venais de comprendre avec pi/4 à pi/2 xD on va y arriver x) ^^ Ce que j'ai compris normalement :

x²+y² + z^2 \leq 4

Donc sphère de rayon 2.

z \geq 0

—-> demi sphère côté positif z

z² \geq x^2+y²

Donc cône inscrit dans cette sphère.
On cherche le volume que occupe le cône dans cette sphère, est-ce bien cela ?

Donc obligatoirement :

0 \leq p \leq 2
\dfrac{\pi}{4} \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}
0 \leq \varphi \leq 2\pi

Si c'est bien ça pour moi c'est bon ^^ ?

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 24-12-20 à 02:38

Et je viens de me rendre compte, avec ça :

\begin{cases} x = pcos(\theta)sin(\varphi) \\ y = psin(\theta)sin(\varphi) \\ z = pcos(\theta) \end{cases}

Le déterminant jacobien
\Delta = p^2sin(\varphi)

Non ? Wikipedia propose deux schema et je dois avouez que ils sont contradictoires j'ai l'impression, l'un propose un \theta allant de Oz au point comme dit Pirho et l'autre de Ox ou Oy (le plan xy) au point. Là après ça déjà je serais bien fixé. C'est plus compréhensible l'histoire du cone et de la sphère déjà pour moi ^^

Posté par
Pirhore : Intégrale 24-12-20 à 07:46


je confirme ce que j'ai dit

\theta varie  de 0\, à\, \dfrac{\pi}{4}

d'ailleurs, si par exemple, tu calcules le volume d'un cône(en coordonnées sphériques) , de même angle par rapport à Oz,

\theta varie  bien de 0\, à\, \dfrac{\pi}{4}

Posté par
Pirhore : Intégrale 24-12-20 à 08:18

j'ai oublié de préciser: cône de sommet O (donc sur "pointe")

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 24-12-20 à 11:57

Ah oui donc avec les changements de variable que j'ai mis plus haut l'angle \theta part bien de l'axe Oz c'est ça ?

Ducoup y'aurait pas une petite erreur dans Wikipedia côté « definition et propriété élémentaire » ? Ou l'angle équivalent à \theta part du plan xy?

Posté par
Pirhore : Intégrale 24-12-20 à 13:31

FerreSucre @ 24-12-2020 à 11:57

Ah oui donc avec les changements de variable que j'ai mis plus haut l'angle \theta part bien de l'axe Oz c'est ça ? oui

Du coup y'aurait pas une petite erreur dans Wikipedia côté « definition et propriété élémentaire » ? non


regarde bien ; l'angle est  entre Oz et OP

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 24-12-20 à 23:33

Sur cette image regarder sur la page Wikipedia, en dessous de ce graphe précis,
L'angle équivalent à \theta part du plan xy jusqu'à [OP] ? Non ?

Posté par
Pirhore : Intégrale 25-12-20 à 00:04

non voir ci-dessous

Intégrale

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 25-12-20 à 00:15

Mais ici ? Si on regarde en dessous de ce graphique ? ^^ c'est pour savoir dsl si je force :/

Intégrale

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 25-12-20 à 00:16

Joyeux Noël à toi d'ailleurs !

Posté par
Pirhore : Intégrale 25-12-20 à 00:19

désolé mais voir ici aussi

Intégrale

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 25-12-20 à 00:33

Oui là c'est correct, enfin bref au pire j'ai bien compris le principe t'inquiètes pas tout est deja bien plus clair que depuis 2 jours donc je vous remercie ^^ , j'aimerai bien en retenter 1 ou 2 histoire de voir . Je referai un Topic quand je serai prêt ! Bonne nuit

Posté par
Pirhore : Intégrale 25-12-20 à 00:42

le problème vient du fait que l'appellation des angles n'est pas universelle; ce qui prête à confusion.

Mais ne te tracasse pas trop avec ça.

Personnellement je te conseillerais de ne plus traiter des intégrales multiples car d'ici le moment où tu les étudieras en cours, tu auras oublié.

Mais bon c'est mon avis!

Posté par
Pirhore : Intégrale 25-12-20 à 00:42

Bonne nuit à toi aussi

Posté par
Pirhore : Intégrale 25-12-20 à 00:51

en résumé, pour moi

\theta varie de  0\, à\,\dfrac{\pi}{4}

\varphi varie de 0\, à\, 2\,\pi

\rho(ou\, r)   varie de 0\, à\, 2

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 25-12-20 à 02:08

Oui c'est bien ce que j'ai compris du coup ^^

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