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Posté par
Vantin 05-11-22 à 18:47

Bonjour,
Dans le cadre des courbes paramétriques et les séries de fourier je suis amené à réaliser cet exercice.

Soit \gamma: [a,b] \to \R^2 une paramétrisation d'une courbe fermée.

1) Montrer que gamma est une paramétrisation par longueur d'arc si et seulement si la longueur de la courbe de \gamma(a) à \gamma(s) vaut s-a.

En utilisant les définitions de mon poly, je dois donc montrer:

\forall x \in [a,b] \lvert \gamma'(x) \rvert = 1 \Longleftrightarrow \int_a^s  \lvert \gamma'(x) \rvert dx = s-a

Sens direct:
On suppose \int_a^s  \lvert \gamma'(x) \rvert dx =  \int_a^s 1\cdot dx = s-a

Je bloque sur le sens indirect, je pense que l'idée c'est de raisonner par l'absurde mais je n'arrive pas à conclure que
\int_a^s  \lvert \gamma'(x) \rvert dx = s-a \rightarrow \forall x \in [a,b] \lvert \gamma'(x) \rvert = 1

Donc je reste bloquer à cette étape... :
Supposons que \exists x \in [a,b] ,  \lvert \gamma'(x) \rvert \ne 1 .

2) Prouvez que toute courbe admet une paramétrisation par la longueur d'arc.

Soit \eta une paramétrisation quelconque

Soit h: [a,b] \to \R définie tel que h(s) = \int_a^s   \lvert \eta'(x) \rvert dx \\

On considère \gamma = \eta \circ h^{-1}.

\gamma' = (h^{-1})' \cdot \eta' \circ h^{-1} = \frac{ \eta' \circ h^{-1} }{h' \circ h^{-1} }  

Or h'(s) = \lvert \eta'(s) \rvert donc \gamma' = 1 donc gamma est une reparamétrisation par longueur d'arc de \eta.

Merci d'avoir lu et merci par avance pour votre aide !

Posté par
Rintarore : Intégrale 05-11-22 à 19:05

Bonsoir Vantin, on peut regarder

l : [a,b] \to \R, ~~x \mapsto \int_a^x | \gamma'(t)| dt

Posté par
Vantinre : Intégrale 06-11-22 à 18:41

D'accord mais je vois pas comment regarder cette fonction pou régler le problème ?2

Posté par
Rintarore : Intégrale 06-11-22 à 19:14

Par hypothèse, pour tout x dans [a,b], f(x) = x - a, non ?

Posté par
Vantinre : Intégrale 06-11-22 à 21:40

Est ce que je peux écrire:

\int_a^x \lvert \gamma'(t) \rvert dt = x-a \Rightarrow  (\int_a^x \lvert \gamma'(t) \rvert dt )' = (x-a)'  \Leftrightarrow  \lvert \gamma'(x) \rvert  = 1  

Posté par
Rintarore : Intégrale 07-11-22 à 18:24

En justifiant les choses, c'est l'idée oui. Je pense que c'est plus propre de parler de la dérivée avec la fonction f, mais après c'est juste une question d'esthétique .

Posté par
Vantinre : Intégrale 07-11-22 à 18:31

Ok je vois merci Rintaro !

Posté par
Rintarore : Intégrale 07-11-22 à 18:58

Avec plaisir


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