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Integrale

Posté par
matheux14 24-12-22 à 12:09

Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre cette intégrale.

I = \int^{\pi/2}_0 x \cos(8x) \ln(1 + tan(x)) dx

J'ai essayé une IPP mais rien d'intéressant.

Merci d'avance.

Posté par
Razesre : Integrale 24-12-22 à 12:34

Bonjour,

Si tu essais le changement de variable: x=\dfrac{\pi}{2}-t ?

Posté par
matheux14re : Integrale 24-12-22 à 12:45

On obtient

I = \int^{\pi/2}_0 \left(\dfrac{\pi}{2} - t\right)\cos\left(8\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)\right) \ln\left(1 + \tan\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)\right) dt

Posté par
matheux14re : Integrale 24-12-22 à 12:47

\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right) = \dfrac{1}{\tan t}

Posté par
Razesre : Integrale 24-12-22 à 13:01

Oui, donc : \ln(1+\dfrac{1}{\tan t})=\ln(\dfrac{1+\tan t}{\tan t})= \ln(1+\tan t)-\ln({\tan t})

Posté par
matheux14re : Integrale 24-12-22 à 13:08

Donc

I = \int^{\pi/2}_0 \left(\dfrac{\pi}{2} - t\right)\cos\left(8\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)\right) \ln(1 + \tan t) - \left(\dfrac{\pi}{2} - t\right)\cos\left(8\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)\right)\ln(\tan t)  dt

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Integrale 24-12-22 à 13:52

Bonjour,
Juste en passant :
cos(8(/2 - t)) se simplifie.

Ne faut-t-il pas prendre des précautions
au départ avec tan(x) pour la borne /2
puis avec ln(tan(t)) pour la borne 0 ?

Posté par
matheux14re : Integrale 24-12-22 à 14:10

Citation :
Ne faut-t-il pas prendre des précautions
au départ avec tan(x) pour la borne /2
puis avec ln(tan(t)) pour la borne 0 ?


J'ai pas compris

Posté par
Razesre : Integrale 24-12-22 à 20:34

N.B.; Je n'ai pas fait les calculs.

Le changement que je t'ai proposé n'est qu'une étape. Ton expression peut encore se simplifier:

I = \int^{\pi/2}_0 \left(\dfrac{\pi}{2} - t\right)\cos\left(8\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)\right) \ln(1 + \tan t) - \left(\dfrac{\pi}{2} - t\right)\cos\left(8\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)\right)\ln(\tan t) dt=\\ \int^{\pi/2}_0 \dfrac{\pi}{2} \cos\left(8t\right)\right) \ln(1 + \tan t) dt-I- \int^{\pi/2}_0\left(\dfrac{\pi}{2} - t\right) \cos\left(8t\right)\right)\ln(\tan t)dt

Tu peux en déduire que 2I =\int^{\pi/2}_0 \dfrac{\pi}{2} \cos\left(8t\right)\right) \ln(1 + \tan t) dt- \int^{\pi/2}_0 \left(\dfrac{\pi}{2} - t\right)\cos\left(8t\right)\right)\ln(\tan t)  dt

Tu peux les intégrer par IPP en posant u'(t)=\cos(8t) et v(t)= \ln(1 + \tan t)  pour la première intégrale.

Même chose pour la second, il faut persévérer car le calcul peut être long. w(t)=\left(\dfrac{\pi}{2} - t\right)\right)\ln(\tan t)  

Il serait nécessaire après de d'utiliser les formules trigonométriques pour les simplifications.

Posté par
lakere : Integrale 25-12-22 à 16:21

Bonjour à tous,
J'ai de la peine à comprendre l'intérêt de cette sorte d'exercice.
Pour matheux14, un résultat pour contrôle (sans oublier les "précautions" évoquées par Sylvieg) :

  I=\dfrac{3\pi+13}{72}

Posté par
matheux14re : Integrale 26-12-22 à 00:13

Comment prendre ces précautions ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Integrale 26-12-22 à 15:35

Citation :
Comment prendre ces précautions ?



Eh bien tu dois t'assurer que l'intégrale à calculer et bien convergente pour la borne impropre \frac{\pi}{2}.


Ce qui peut se faire (par exemple) en utilisant la majoration (facile à justifier) : \ln(1+x)\leqslant\sqrt x

Posté par
matheux14re : Integrale 28-12-22 à 14:48

Qu'est ce qui se passe si l'intégrale est convergente pour la borne \pi/2 ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Integrale 28-12-22 à 19:00

Il se passe qu'alors l'intégrale (impropre) \Large\boxed{I = \int^{\pi/2}_0 x \cos(8x) \ln(1 + tan(x)) dx} est un nombre réel que l'on peut calculer (ou du moins approcher).


Par exemple, on peut penser à calculer l'intégrale impropre \Large\boxed{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\tan(x)}~dx} mais pas \Large\boxed{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\tan(x)~dx}

Posté par
matheux14re : Integrale 28-12-22 à 19:37

Ah d'accord

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Integrale 30-12-22 à 12:09

Il me semble que l'intégrale I (une fois la convergence justifiée) est calculable à l'aide de 3 intégrations par partie :



\Large\boxed{1} une première pour déterminer une primitive F sur [0,\frac{\pi}{2}[ de la fonction f:x\mapsto\cos(8x)\ln\left(1+\tan(x)\right)


je trouve \Large\boxed{F(x)=\frac{1}{8}\sin(8x)\ln\left(1+\tan(x)\right)+\frac{1}{24}\cos(6x)-\frac{1}{8}\cos(2x)+\frac{1}{8}\sin(4x)-\frac{1}{24}\sin(6x)-\frac{1}{8}\sin(2x)},


\Large\boxed{2} une seconde donne :

\Large\boxed{I=\left[xF(x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}F(x)dx=\frac{\pi}{24}+\frac{5}{36}-\frac{1}{8}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(8x)\ln\left(1+\tan(x)\right)dx}


\Large\boxed{3} et une dernière donne :

\Large\boxed{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(8x)\ln\left(1+\tan(x)\right)dx=-\frac{1}{3}} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
Chamfortre : Integrale 31-12-22 à 07:13

Bonjour;

a la  première intégration il manque ln(1+tanx), car si l'on dérive le résutat1, on devrait retrouver 1.

Posté par
Chamfortre : Integrale 31-12-22 à 07:19

grossière erreur de ma part.
désolé.


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