Bonsoir,

Une idée à tester : utiliser la convexité de 1/ln(x)
En faisant le changement de variable permettant d'écrire x=y*b+(1-y)*u avec y dans [0,1] puis en appliquant la définition de convexité, j'ai l'impression que ça aboutit.

Il y aura des termes faisant apparaître b, mais je suppose qu'on peut  les traiter en utilisant b>e².

Tiens-nous au courant (que ça marche ou pas).

Bonne soirée

Bonjour,
Si j'ai bien compris, il s'agit de démontrer cette inégalité :

avec

Je ne sais pas si ça peut aider, mais il me semble qu'il suffit de démontrer l'inégalité avec au lieu de .

Bonsoir ,

En fait la proposition de Thetapinch27  est bonne  mais elle ne marche pas sur 1/Log x car la majoration est trop grossière au final.
Par contre en intégrant par parties de 1/Logx entre b et u  on tombe sur la somme de x/ Logx et de l'intégrale de 1/(Logx)^2.
on applique alors la convexité de 1/(Logx)^2 :
Au final la majoration est fine sur chacun des termes et on trouve le majorant suivant :
3/2 u/Logu - u/2(Logb)^2 -b/Logb < 2u/Logu

Je suis content assez de ce resultat pas evident à obtenir  et je vous remercie pour votre aide

Bonsoir à nouveau ,

Je vous recontacte sur le même sujet car je pense que nous n'avons toujours pas la solution.
Il y a une erreur de ma part dans la majoration ; en fait on arrive bien à 3/2 u/Logu mais il reste quand même un terme positif que j'avais oublié qui est u/2( Logb)^2 positif et que je n'ai pas su éliminer avant les termes négatifs.

Donc on ne peut pas conclure sur le majorant 2u/Logu.

Je reste donc preneur d'autres idées sur ce sujet et vous en remercie.

Bonjour,

Effectivement je viens de poser le calcul et il apparaît qu'avec l'inégalité de convexité (avec ou sans l'intégration par parties) on se retrouve avec un terme en "k*u" qu'on ne peut pas gérer.

Je propose une autre approche (pas testé jusqu'au bout).  Déjà on s'intéresse au cas u=b^N+1 et on casse l'intervalle [b,b^N+1] en intervalles de type [bⁿ, bⁿ⁺¹].

On pourrait appliquer l'inégalité de convexité sur chacun des intervalles ainsi obtenus (ce qui revient à comparer à la méthode des trapèzes), mais on peut se contenter (dans un 1er temps) de dire que 1/ln(x) est maximum sur la borne "gauche" dans chaque intervalle (ce qui revient à comparer à la méthode des "rectangles à gauche") car le calcul est bien plus simple, bien que la majoration soit plus grossière.

Alors :


Puis on reconnaît dans cette somme la primitive de   appliquée en b (celle qui s'annule en 0)... Cela va donner un polynôme en u^1/(N+1) et cela devrait aussi faire apparaître du log ... mais il va falloir majorer tout ça en fonction de u et ln(u) ... le boulot est loin d'être terminé.

Pas d'autre idée pour le moment ...

Bonjour,

Comme l'a justement fait remarquer Sylvieg il suffit de traiter le cas

Un simple calcul de dérivée, montre que



or



pour

_{sauf erreur}

Bonjour,

larrech : simple et efficace !

merci thetapinch27